Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.3k utilizatori

1 plus 0 minusuri
670 vizualizari

Cum se determină tripletele (x, y, z), numere naturale, care sînt soluţii ale ecuaţiei: xy + yz + xz = xyz ?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

4 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
i) Se observa ca x=0 <=>y=z=0 pentru satisfacerea relatiei 
ii) x,y,z naturale nenule relatia se rescrie 1/x + 1/y + 1/z = 1;
 
notam cu d = cmmdc(x,y) 
x = d*a
y = d*b (a, b) prime intre ele
=> 1/x + 1/y + 1/z = 1 <=> 1/d*a + 1/d*b + 1/z = 1 <=> b*z + a*z + d*a*b - d*a*b*z = 0
=> d = z(a + b) / a*b (z - 1) 
 
a, b prime intre ele si z-1 nu divide z
=> a*b divide pe z
=> z = kab
=> d = k*a*b(a+b) /a*b(z-1) = k(a+b)/(k*a*b-1)
=> 
1) k = d/( d*a*b - a - b )
2) k = d/p => d = k*p;
 
=> Din 1)+2) => k = k*p/(k*p*a*b - a - b)
=> k = 1/ab + 1/pa + 1/pb;
 
Se observa ca 1<=a<=3, 1<=b<=3, 1<=p<=3 
 
Fara a restrange generalitatea, daca a > 3 => 1/pa + 1/ab < 2/3 => pb < 1 fals => a <=3 (Similar pentru b,p) 
 
=> 3^3 (27) posibile solutii (nu toate sunt insa solutii). 
 
Se inlocuieste a,b,p si se pastreaza solutiile valide.
Junior (526 puncte)
selectat de
0 0
nu e rau dar parca te ai complicat.
0 0
Interesant, dar care sînt cele 27 posibile soluţii, mie mi-au ieşit exact ... triplete?
0 plusuri 0 minusuri
avem din inegalitatea mediilor ca xy+xz+yz<=3 *radical de ordin 3 din (xyz)^2 de unde rezulta ca( xyz)^3<=3(xyz)^2 si obtinem ca xyz=0 sau xyz<=3 cazul xyz=0 ne duce la solutia x=y=z=0 in cazul nenul deducem imediat ca valoarea maxima poate fi 3  fara a restringe generalitatea putem considera x<=y<=z nu putem avea decat o singura valoare de 3 sau de 2 si astfel nu avem decat optiunile (1;1;1) , (1:1:2) sau (1;1;3) care nu sunt verificate.Deci ecuatia nu admite solutii in numere naturale decat cazul x=y=z=0.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0

Concluzia este greşită, şi numai dacă mă gîndesc la contraexemplul (3, 3, 3). Aţi schimbat sensul de la inegalitatea mediilor ( AM - GM inequality ) ceea ce face restul inutil.

0 0
da am gresit cand am ridicat la cub  pe 3 l-am uitat,nu am schimbat semnul inegalitati (aceea parte e corecta)doar ca trebuia sa rezulte xyz<=27
0 0

Nu este corect. Mai dau un contraexemplu : (x, y, z) = (2, 4, 4) => 2*4*4 = 32 > 27

0 0
scuze ,parca am fost beat:D

Da ai dreptate
0 plusuri 0 minusuri
singura soluţie posibilă a ecuaţiei în numere naturale este:

x=6

y=3

z=2

         xy + yz + xz = xyz

6*3 + 3*2 + 6*2 = 6*3*2

        18 + 6 + 12 = 6*3*2

                        36 = 36

  (x+y)*z=x*y

(6+3)*2=6*3        2=6*3/6+3

       9*2=6*3        2=18/9

         18=18         2=2

deci avem doua numere x şi y în care x*y/x+y=2 în care singura soluţie unică este x=6 şi y=3

6*3/6+3=18/9=2 în concluzie dacă s-ar putea demonstra că dacă există alte două numere x şi y în care să satisfacă condiţia ca x*y/x+y=2 atunci am avea o altă soluţie a ecuaţiei iniţiale. Eu nu am reuşit să găsesc o demonstraţie matematică a ecuaţiei iniţiale şi nici o demonstraţie a ecuaţiei x*y/x+y=2 decât x=6 şi y=3 în care eu zic că e soluţie unică dar nu am o demonstraţie. Ecuaţia x*y/x+y=2 are legătură cu ecuaţia principală.
Novice (156 puncte)
editat de
1 0

Gheorghita a data deja alte doua exemple. smiley

Deci nu e chiar asa de unica.

0 0
Ecuaţia xy = 2(x+y) se poate trata astfel : y = 2x / (x-2) = 2 + 4 / (x-2)  => x-2 divide 4 => soluţiile.
0 0
Şi care sunt exemplele alea date de Gheorghiţa? Vă referiţi la (3, 3, 3) sau (2, 4, 4) că până acuma alte exemple nu am văzut în care să fie trei numere diferite x, y, z aşa cum apare în problemă, decât exemplul dat de mine (6, 3, 2) care este şi singurul posibil în numere naturale care satisface ecuaţia xy+yz+xz=xyz. (3, 3, 3) sau (2, 4, 4) acestea nu sunt soluţii atâta timp cât în problemă avem (x, y, z) mă gândesc că logic, matematic asta înseamnă trei numere diferite, deci (3, 3, 3) sau (2, 4, 4) nu sunt soluţii, da dacă am fi avut (x, x, x) sau (y, y, y) sau ori care altă literă scrisă de trei ori atunci (3, 3, 3) ar fi fost o soluţie, sau (x, y, y) atunci (2, 4, 4) ar fi fost o soluţie, dar în problemă este vorba de trei numere DIFERITE. X, Y, Z. Deci să scrie cineva dacă are o altă soluţie în care cele trei numere să fie diferite, eu zic că nu mai există altă soluţie decât (6, 3, 2) dar nu am şi o demonstraţie matematică pentru aceasta, nu o văd, poate o vede altcineva.
0 0
Oricum am trata ecuaţia xy = 2(x+y) tot la unica soluţie posibilă ajungem şi anume x=6 şi y=3 sau x=3 şi y=6.
0 0

Nu am precizat nicăieri că numerele trebuie să fie diferite între ele, dar dvs. în loc să-mi apreciaţi mîna de ajutor pe care v-am oferit-o la o ecuaţie (la care nu ştiu cum aţi ajuns şi nici nu mă mai interesează) căreia nu-i dădeaţi de capăt, îmi tot căutaţi nod în papură şi nu aveţi dreptate. Aştept opinii şi de la alţi useri.

1 0

Nicaieri in formularea problemei nu se spune ca numerele sant diferite. Iar ecuatia asa cum e scrisa nu implica valori diferite pentru variabile.

Era deajuns sa precizezi ca de fapt ai vrut sa spui ca singura solutie cu cele trei variabile distincte este cea gasita de tine. Nu e vorba de logica ci de acceptiunea uzuala, din matematica.

0 plusuri 0 minusuri

Pentru că mi-a plăcut această problemă şi pentru timpul dedicat de mine rezolvării ei, consider că nu deranjez pe nimeni dacă spun soluţia mea. Ecuaţia se poate scrie (cum bine a remarcat Marian Gheorghe care putea sări direct la k  = /1......şi continuarea ..., dar merită apreciat efortul depus ) :

1/x + 1/y + 1/z  = 1. Putem presupune o ordine între numere (ecuaţia fiimd simetrică în x, y, z), de exemplu  x ≤ y ≤ z. Rezultă 1 ≤  3/x  =>  x ≤ 3:

            a.  x=1 => 1/y + 1/z =0, nu se poate

            b.  x=2 => 1/y + 1/z = 1/2, dar y ≤ z => 1/2 ≤ 2/y => y ≤ 4, dar x =2 şi totodată x ≤ y =>

                 b1. y =2 => 1/z = 0, nu este posibil

                 b2. y =3 =>  1/z = 1/6 => ( 2, 3, 6 )

                 b3. y = 4 =>  1/z = 1/4 => ( 2, 4, 4 )

             c.  x =3 => 1/y + 1/z = 2/3, dar y ≤  z  => 2/3 ≤  2/y  => y  ≤ 3. Dar x=3 şi x≤ y => ( 3, 3, 3 ).

Deci soluţiile de bază sînt cele cele triplete  marcate cu bold, plus permutările primelor două ( mă repet, datorită simetriei numerelor x, y, z ), dacă o socotim şi pe (0, 0, 0) rezultă  11 triplete ca fiind soluţii ale acestei frumoase ecuaţii. Ca să glumesc puţin: Pay me my money down. Cheers.

Experimentat (4.8k puncte)
...