Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
485 vizualizari
Putem avea exact 3 din distantele AiAj i,j de la 1 la 8 i diferit de j, valori irationale?
Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

4 Raspunsuri

0 plusuri 0 minusuri
Cateva precizari la problema asta :

1 Sunt mai fraier uneori si nu m-am prins cum sa pun intrebarea asta corect asa ca ea apare integral in titlu.Data viitoare stiu pana atunci raman un fraier:)

2Problema nu e usoara si nici nu am o solutie la ea dar pare extrem de interesanta.Deci avem 2 optiuni ori gasim efectiv un exemplu ori nu exista aceasta posibilitate.Pare mai posibilia optiunea 2 aceea de a nu exista si evident asta cere o demonstratie.

3Considerati raza ca fiind 1 pentru inceput fiindca simplifica destul de mult .Dupa care se poate lua in discutie o raza r rationala si una irationala.

4Folositi eventual vectori ,numere complexe sau coordonate polare ori apeland la transformari geometrice,mai exact la inversiune.

Succes
Experimentat (2.3k puncte)
0 plusuri 0 minusuri

Dau un mic răspuns sau mai bine spus o frînturã de răspuns; este extrem de simplu, poate si pueril, dar sper sã nu fiu taxatã dacã este nepotrivit : Poligonul format din 8 puncte are 20 de diagonale si 8 laturi, fiecare din cele 28 de coarde se poate exprima c(i) = 2r*sin ( a(i)/2 ), a(i) fiind unghiul sub care se vede din centrul cercului. Deci dacă considerăm r = 1 sau orice numar raţional  => exact 3 sinusuri trebuie să fie nr. iraţionale, iar restul de 25 nr. raţionale. Se ajunge la întrebarea: cînd sin(x) este un nr. raţional şi cred că doar pentru valorile -1, - 1/2, 0, 1/2 şi 1, ceea ce înseamnã cã unghiurile posibile sub care se vãd c(i) sînt 0, 60 si 180, nu sar peste 180 pentru cã nu are rost, deci am poate un diametru....maxim 4 diametre, iar restul de coarde este imposibil sã fie vãzute toate la 60. Dacã r nu este nr. raţional, mai discutãm poate vreodatã. Deci opinia mea este că nu ...

Experimentat (4.8k puncte)
editat de
0 plusuri 0 minusuri
Sa prezint ce semnifica transformarea geometrica de inversiune.

Se numeste inversiune de pol O si modul k transformarea care oricarui punct X din plan mai putin O il transforma in punctul X' astfel incat X'este situat pe OX si avem

OX*OX'=k (relatia aceasta se scrie in mod normal vectorial) si punctul O este transformat in el insusi.

Este cunoscut ca o inversiune de pol situat pe un cerc ,transforma cercul intro dreapta.

Mai avem si posibilitatea sa calculam lungimea unui segment transformat prin inversiune.

Fie A,'B' transformatele lui A si B printro inversiune de pol O si modul k atunci avem A'B'=kAB/(OA*OB).

Acuma indicatie se poate transforma cele 8 puncte in 8 puncte pe un segment alegand un pol O eventual intrun punct din cele 8 sau un punct care sa aiba OAi numai valori rationale.In ideea ca acest punct exista problema se transforma in alta problema si anume daca avem 8 puncte pe o dreapta astfel incat sa avem doar 3 segmente cu valori irationale .
Experimentat (2.3k puncte)
1 plus 0 minusuri
Am sa dau un raspuns din cauza lipsei de activitate.

Avem 8 puncte notate cu A1;A2....A8.
Sa presupunem prin absurda ca avem exact 3 dintre lungimi numere irationale .Cum in 3 segmente putem avea maxim 6 puncte distincte care le formeaza ,deducem ca exista 2 puncte(dar ma intereseaza doar 1 ) pentru care orice segment format cu unul din aceste puncte este rational.Fara a restringe generalitatea putem considera ca fiin A1 unul din aceste puncte.

Fie o inversiune de pol A1 si modul un numar k rational(sa zicem de exemplu 8) atunci vom avea un desen ca in figura urmatoare din link

https://www.scribd.com/doc/241992517/inversiune-pdf

Segmentele rationale AiAj raman tot rationale in transformatele lor A'iA'j asta din cauza modului de calcul al acestor segmente.La fel si cele irationale se conserva.Deci conform presupuneri vom avea 3 segmente irationale si restul rationale.Putem privi punctele precum pe axa reala incepand cu originea in A'2 si celelalte puncte avand valori numerice pe care sa le notam sa zicem cu p1;p2..p6.Cel putin unul din numerele acestea trebuie sa fie irational altfel am avea numai segmente rationale .Daca avem doar 1 atunci segmentele vecine insumate cu el ar determina 5 numere irationale ceea ce contrazice .Daca am avea 2 am obtine prin insumare cu numere rationale  din cele 4 ramase si vecine celor 2 cel putin inca 2 segmente irationale si daca am avea 3 am avea aceeasi poveste si automat contradictie .In concluzie nu putem avea doar 3 irationale.

O demonstratie a faptului ca punctele transformate prin inversiune sunt pe o dreapta si modul lor de calcul vine din faptul ca triunghiurile A1AiAj si A1A'iA'j sunt asemenea deoarece unghiul A1 este comun si A1Ai*A1A'i=A1Aj*A1A'j=k.(vezi comentariul meu la cum se defineste inversiunea)Astfel se poate calcula A'iA'j si coliniaritatea revine din faptul ca unghiul A1A'2A'k (cel marcat de mine pe desen) este egal cu 1/2 din arcul A1A2 indiferent de k de la 3 la 8 deci punctele se afla pe o dreapta.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Mi-a luat ceva timp să vă descifrez soluţia şi vă dau dreptate. Foarte frumos. Trebuiau neapărat 8 puncte ( nu cred ) ?   Ultimul paragraf se cunoştea, dar aţi mai dat o soluţie la încă o problemă, mai că era să demonstraţi şi că dreapta rezultată prin inversiune este perpendiculară pe diametrul dus prin A1.
...