Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
540 vizualizari
Am mai gasit o problema care mi-a atras atentia si la care am gasit solutia la punctul a dar nu prin demonstratie matematica si m-am gandit ca poate ma ajuta cineva.
 
a) Sa se gaseasca toate numerele pozitive intregi n pentru care 2^n-1 este divizibil cu 7;
 
b) Sa se demonstreze ca nu exista niciun numar intreg pozitiv n pentru care 2^n + 1 este divizibil cu 7.
Junior (413 puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Folosesc o metodă remarcată chiar în acest site.

n se scrie n = 3p+ t, cu t = 0,1, sau 2. Deci 2^n = (2^3p)(2^t) = (8^p) (2^t) = (8^p -1) (2^t) +2^t. Dar (8^p -1) se descompune în (8-1)( 8^(p-1) +... +1) = multiplu de 7 . Rezultă 2^n = 7*m + 2^t.

a) 2^n -1 = 7m + (2^t -1). Deci (2^t-1) trebuie să fie multiplu de 7 sau 0  şi ţinînd cont că t = 0,1,2 rezultă t = 0 şi soluţia n = 3p, deci toate numerele întregi divizibile cu 3.

b) 2^n + 1 = 7m + (2^t +1). Deci (2^t +1 ) trebuie să fie multiplu de 7, ceea ce este imposibil pentru valorile stabilite ale lui t ( 0,1,2).

 

Experimentat (4.8k puncte)
selectat de
0 plusuri 0 minusuri
Încearcă prin inducție matematică. La punctul a) demonstrează tot prin inducție cu soluția găsită deja. N-am încercat, dar mă gândesc că ar merge...
Novice (287 puncte)
2 plusuri 0 minusuri
Ideal e de folosit congruentele modulo 7.

am sa notez relatia de congruenta cu ~.

a~b(modc) <=>c|a-b

Cum 2^3~1(mod7) rezulta imediat ca n=3k.Punctul b aceeasi idee se arata ca 2^n nu poate avea restul 6 tot cu ajutorul congruentei.

Relatia de congruenta se noteaza  cu cu cele 3 linii orizontale si a fost introduse pentru prima oara de catre Gauss in celebra lui carte Aritmetica scrisa la incredibila varsta de 17 ani.Relatia de congruenta este o relatie de echivalenta adica simetrica,reflexiva si tranzitiva.
Experimentat (2.3k puncte)
...