Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
906 vizualizari

Cum se determină toate numerele naturale m şi n pentru care 2^m + 3^n este un pătrat perfect?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Partial dar m-am gandit ceva la problema asta si e adevarat nu am ajuns la o concluzie finala dar sunt destul de aproape.

Demonstratia are mai multe aspecte si le mentionez acuma pentru a urmari mai usor.Relativ putin voi folosi simbolul lui Legendre al resturilor patratice,pentru cei care nu cunosc si vor sa afle mai multe click  http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol

Un alt aspect reprezinta paritatea .

Bun.Sa remarcam ca 2^m+3^n este numar par doar daca m=0 ,Cazurile triviale in care m sau n=0 se trateaza particular si se obtin solutii unice .Nu am sa fac aceste cazuri deoarece deja vad ca sau rezolvat deja.

m si n nu pot avea paritati diferite.din urmatorul motiv :

Un numar impar la patrat e de forma 4k+1 in timp ce resturile la impartirea cu 4 a lui 3^n poate fi doar 1 sau 3 si la 2^m, 0 sau 2 ,deducem imediat ca ne convine doar 1+0 sau 3+2 care se refera la cazurile m si n ambele pare sau m si n ambele impare.

Acuma aratam ca m si n nu pot fi ambele impare si aici intervine simbolul lui legendre .Restul la impartirea cu 3 a lui 2^m+3^n este restul pe care il da 2^m dar daca restul este 2 nu ne convine intrucat 2 nu e rest patratic,caz care implica m impar.Se poate remarca si punand pe 2=3-1 si verificati ca la m impar numarul din stanga e de forma 3k-1 in timp ce patratul nu poate fi de forma asta.Deci ramanem la m si n pare .

Fie m=2x si n=2y ecuatia se scrie ca (2^x)^2+(3^y)^2=k^2 ecuatie de tip pitagoreica are carei solutii sunt cunoscute.

solutiile sunt de forma  a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2  (am dat copy paste la cele ale lui Radu).Eu in loc de m si n sa nu creez confuzie am sa folosesc u si v.

2uv nu poate fi decat 2^x de aici deducem ca uv=2^(x-1) dar u si v nu pot fi ambele pare si consideram u>v deci nu ne convine decat u=2^(x-1) si v=1  de unde deducem ca 

3^y=2^2(x-1)-1. Am sa continui ,e de remarcat ca ecuatia sa simplificat la un mai "simpla" cu ghilimelele de rigoare.

Edit:

Acuma continuarea.Vom arata ca aceasta ecuatie nu are solutii decat x=2 si y=1 in conditiile in care nu cautam solutii triviale si reamintesc ele le am specificat ca se trateaza separat.Pentru usurinta am sa notez x-1 cu z.

Deci ecuatia se scrie 3^y=2^(2z)-1=1+2+...+2^(2z-1)=(1+2)(1+2^2+2^4+...+2^(2z-2)) 

Simplificand cu 3 obtinem 3^(y-1)=1+2^2+..+2^(2z-2) Daca y>1 atunci 2z-1 trebuie sa fie multiplu de 3 altfel partea din dreapta nu se imparte cu 3.(Se tine cont ca restul impartiri la 2^2 cu 3 este 1 deci restul impartiri la acea suma este acelasi cu restul impartiri sumei 1+1+..+1 de 2z-1 ori adica exact 2z-1)Dar grupand cate 3 se poate da factor comun 1+2^2+2^4 care face 21 si ar rezulta ca 7 divide 3 imposibil.Deci rezulta ca y=1 si z=1 care duce la solutia y=1 x=2 de unde m=4 si n=2 singura solutie existenta in afara de cele triviale m=3 si n=0 respectiv m=0 si n=1.

Concluzie :O problema grea care implica multe discutii dar care iin final e complet rezolvata.am incercat pe cat posibil sa fiu cat mai limpede in prezentarea ei ,totusi nu e deloc o problema usoara si de aceea nici rezolvarea nu e usor de urmarit.

Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0
Mulţumesc pentru timpul acordat acestei întrebări. Cred că pentru evitarea folosirii simbolului Legendre se putea folosi, după ce aţi arătat că m şi n au aceeaşi paritate, descrierea 2^m + (3^n -1) = 4p(p+1) şi descompunînd 3^n-1 se deduce că n este par => la fel şi m şi apoi tot continuarea dvs. Felicitări.
1 plus 0 minusuri

2^m+3^n=x^2

 

2^m=x^2-3^n            

 

3^n=x^2-2^m

 

2^m=x^2-x^2-2^m se reduce x^2 cu x^2 şi ne rămâne 2^m=-2^m de unde rezultă că m nu poate fi decât par la fel şi la 

3^n=x^2-x^2-3^n se reduce x^2 cu x^2 şi ne rămâne 3^n=-3^n de unde rezultă că n la fel nu poate fi decât par. Am stabilit că m şi n nu pot fi decât numere pare şi ştim faptul că orice număr ridicat la o putere pară întotdeauna ne va da un număr pătrat perfect deci ecuaţia 2^m+3^n=x^n este o ecuaţie pitagoreică în care ştim formula generală este a^2 + b^2 = c^2\!\,

2 la orice putere ne va da un număr par 3 la orice putere ne va da un număr impar, un număr par plus un număr impar vom obţine întotdeauna un număr impar deci x nu poate fi decât un pătrat perfect impar

pătratele perfecte pare se termină întotdeauna în: şi voi scrie doar ultimele două cifre 04, 24, 44, 64, 84, 16, 36, 56, 76, 96 şi 00

şi pătratele perfecte impare se termină în: 01, 21, 41, 61, 81, 09, 29, 49, 69, 89 şi 25

2 ridicat la puteri pare vom obţine numere pătrate perfecte care au ultimele două cifre 04, 24, 44, 64, 84, 16, 36, 56, 76, 96

la fel 3 ridicat la puteri pare vom obţine numere pătrate perfecte care au ultimele două cifre 01, 21, 41, 61, 81, 09, 29, 49, 69, 89 şi din toate astea avem următoarele posibilităţi:

...01+...24=...25

...21+...04=...25

...41+...84=...25

...61+...64=...25

...81+...44=...25

...09+...16=...25

...29+...96=...25

...49+...76=...25

...69+...56=...25

...89+...36=...25

deci x^2 nu poate fi decât un pătrat perfect care se termină în 25. 

Şi acum formula fundamentală a lui Euclid de generare a tripletelor pitagoreice este   a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2  unde m şi n sunt numere întregi pozitive unde m>n şi m-n egal cu un număr impar.

2^m+3^n=x^2 acum trebuie să vedem dintre baza 2 şi 3 care este a şi care este b

a nu poate fi 2 pentru că 2=m^2-n^2 ori care ar fi m şi n nu există două numere pătrate perfecte în care făcând diferenţa între ele să dea 2 se poate verifica am scris mai sus toate terminaţiile de la numerele pătrate perfecte. Deci a nu poate fi decât 3 şi avem 3=m^2-n^2 unde singura soluţie pentru m şi n este m=2 şi n=1

3=2^2-1^2

b este 2 unde avem 2=2mn  2=2*2*1=4 şi c=2^2+1^2     c=5

a=3

b=4

c=5

unde aceasta este chiar primul triplet de numere pitagoreice 3^2+4^2=5^2

unde pe 4^2 avem posibilitatea să-l scrie ca 2^4 aceasta fiind singura soluţie a ecuaţiei  a= ba   unde a=2 şi b=4 sau invers a=4 şi b=2  (2= 42)

şi atunci 2^m+3^n=x^2   cu soluţia unică m=4 şi n=2

2^4+3^2=5^2

16+9=25

Novice (156 puncte)
editat de
0 0
Vezi ca la inceput se pare ca ai gresit un semn.

Nu rezulta 2^m= - 2^m ci 2^m=2^m. Ceea ce e trivial si nu implica nimic deosebit.

Nu imi dau seama daca asta are vreo influenta asupra celor ce urmeaza.
0 0

2^m+3^n=x^2

 

pe urmă l-am scos pe rând pe 2^m şi 3^n

 

2^m=x^2-3^n            

 

3^n=x^2-2^m

 

şi în 2^m=x^2-3^n l-am înlocuit pe 3^n cu x^2-2^m şi am obţinut

 

2^m=x^2-x^2-2^m unde se reduce x^2 cu x^2 şi ne rămâne

 

2^m= - 2^m deci e corect.

0 0

Ai o problema cu desfacerea parantezelor. Sau poate cu ignorarea lor.smiley

Cand inlocuiesti 3^m cu (x^2-2^m) ai de fapt

x^2-(x^2-2^m) care la desfacerea parantezei va fi

x^2-x^2+2^m

Asta pentru ca -(-2^m)=+2^m. 

Ma mir ca nu ai observat o chestie ca asta. Poate inteleg eu gresit ce vrei sa faci acolo?

Oricum daca sa zicem ca ai fi obtinut 2^m=-2^m, asta ar fi posibil numai daca 2^m=0.

Nu exista valori intregi ale lui m care sa satisfaca asa ceva.

 

0 0
da aşa este am greşit că nu am pus parantezele, întradevăr am uitat de ele, dar oricum m şi n tot numere pare trebuie să fie se poate demonstra şi prin altă metodă că m şi n nu pot fi decât pare. Şi 2^m= - 2^m sunt o infinitate de valori întregi şi doar numere pare, pentru m=2 avem 2^2= - 2^2 unde -2^2 este -2*(-2)=4   sau m=4 avem 2^4= - 2^4 unde -2^4 este -2*(-2)*(-2)*(-2)=16    m nu pote fi impar pentru că atunci -2 ridicat la o putere impară ne va da un număr negativ.
0 0
după cum bine a observat mircea_p că am greşit la început la paranteze că le-am ignorat când am vrut să arăt că m şi n nu pot fi decât pare, voi demonstra altfel că întradevăr m şi n nu pot fi decăt pare şi în rest rezolvarea problemei rămâne neschimbată.

2 ridicat la puteri pare, şi voi scrie doar ultimele două cifre

2^2= 04

2^4= 16

2^6= 64

2^8= ...56

2^10= ...24

2^12= ...96

2^14= ...84

2^16= ...36

2^18= ...44

2^20= ...76

astea sunt toate terminaţiile de la 2 ridicat la puteri pare pentru că mai departe 2^22= ...04 şi aşa mai departe se repetă

2 ridicat la puteri impare la fel voi scrie doar ultimele două cifre

2^3= 08

2^5= 32

2^7= ...28

2^9= ...12

2^11= ...48

2^13= ...92

2^15= ...68

2^17= ...72

2^19= ...88

2^21= ...52

la fel astea sunt toate terminaţiile de la 2 ridicat la puteri impare, mai departe 2^23= ...08 şi aşa mai departe se repetă

acum 3 ridicat la puteri pare şi voi scrie ultimele cifre

3^2= 09

3^4= 81

3^6= ...29

3^8= ...61

3^10= ...49

3^12= ...41

3^14= ...69

3^16= ...21

3^18= ...89

3^20= ...01

astea sunt toate terminaţiile de la 3 ridicat la puteri pare, mai departe 3^22= ...09 se repetă

şi 3 ridicat la puteri impare, voi scrie ultimele două cifre

3^3= 27

3^5= ...43

3^7= ...87

3^9= ...83

3^11= ...47

3^13= ...23

3^15= ...07

3^17= ...63

3^19= ...67

3^21= ...03

astea sunt toate terminaţiile de la 3 ridicat la puteri impare, mai departe 3^23= ...27 şi se repetă.

şi acum avem pătrate perfecte pare şi impare

voi scrie ultimele două cifre de la pătratele perfecte pare

...04

...24

...44

...64

...84

...16

...36

...56

...76

...96

şi ...00

ultimele două cifre de la pătratele pătrate perfecte impare

...01

...21

...41

...61

...81

...09

...29

...49

...69

...89

şi ...25

până aici din toate aceste date ne putem da seama că din 2^m+3^n=x^2    

n nu poate fi decât par pentru că 3 ridicat la o putere impară plus 2 ridicat indiferent la o putere pară sau impară nu ne va putea da un pătrat perfect.

şi 3 ridicat doar la puteri pare ne va da doar pătrate perfecte impare în care un număr pătrat perfect impar plus 2 ridicat la puteri pare şi impare în care clar vom obţine doar numere pare avem un număr pătrat perfect impar plus un număr par întotdeauna ne va da un număr impar deci x^2 nu poate fi decâ un pătrate perfect impar.
0 0

prea mult am complicat lucrurile şi este prea mult de urmărit.

rezolvarea mult mai simplificată este:

formula fundamentală a lui Euclid de generare a tripletelor pitagoreice este   a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2  unde m şi n sunt numere întregi pozitive unde m>n şi m-n egal cu un număr impar.

2^m+3^n=x^2 acum trebuie să vedem dintre baza 2 şi 3 care este a şi care este b

a nu poate fi 2 pentru că 2=m^2-n^2 ori care ar fi m şi n nu există două numere pătrate perfecte în care făcând diferenţa între ele să dea 2 se poate verifica am scris mai sus toate terminaţiile de la numerele pătrate perfecte. Deci a nu poate fi decât 3 şi avem 3=m^2-n^2 unde singura soluţie pentru m şi n este m=2 şi n=1

3=2^2-1^2

b este 2 unde avem 2=2mn  2=2*2*1=4 şi c=2^2+1^2     c=5

a=3

b=4

c=5

unde aceasta este chiar primul triplet de numere pitagoreice 3^2+4^2=5^2

unde pe 4^2 avem posibilitatea să-l scrie ca 2^4 aceasta fiind singura soluţie a ecuaţiei  a= ba   unde a=2 şi b=4 sau invers a=4 şi b=2  (2= 42)

şi atunci 2^m+3^n=x^2   cu soluţia unică m=4 şi n=2

2^4+3^2=5^2

16+9=25

0 0

Nu.

-2^2 nu este (-2)*(-2) ci -(2^2) adica -4.

2^2=-2^2 este tot una cu 4=-4. Care nu este adevarat (cu exceptia cazului limita in care 4=0).

Din nou, nu stiu ce implica asta pentru restul. Dar vazand astfel de erori elementare, parca nu iti vine sa te apuci sa citesti in continuare.smiley

0 0

da îmi recunosc greşeala, intradevăr o greşeală banală care nu am ştiut-o sau am ştiut-o într-un mod greşit dar în matematică aparent sunt multe banalităţi care poate se mai întâmplă să le omitem şi să facem greşeli banale că nu le putem şti pe toate. Dar oricum greşeala mea banală nu schimbă cu nimci rezolvarea problemei, metoda găsită de mine în care am aratat că soluţiile ecuţiei 2^m+3^n=x^2 sunt m=4 şi n=2 fiind soluţie unică. mircea_p dacă aveţi o altă metodă de rezolvare a ecuaţiei o altă demonstraţie vă rog să o prezentaţi. mulţumesc

0 0

Imi pare rau daca te simti atacat de mentionarea erorilor din demonstartie. Dupa cum am mentionat, s-ar putea sa nici nu influenteze restul argumentului. Dar e bine sa le corectezi, ca mai citeste lumea pe aici, nu? Nu inseamna ca dezaprob eforturile tale sau le minimalizez. Dimpotriva, imi pare bine ca mai sant oameni care sant interesati de asa ceva.

Nu trebuie sa am eu o demonstratie (nu am, dehsmiley) ca sa am posibilitatea de a observa erori in alte demonstratii, nu? 

Cred ca in demostratia ta mai trebuie sa arati de ce crezi ca valorile m si n din problema originala sant legate de exponentii aia din formula lui Euclid. Termenii din ecuatia originala nu par a  fi triplete pitagoreice. 

Si ar mai fi poate problema ca formula lui Euclid nu produce toate tripletele posibile. Parca asa era teoria. Asta presupunand ca este o legatura intre problema originala si formula lui Euclid.

Eu nu am gasit (inca) alte valori care sa satisfaca ecuatia deci se poate (din punctul de vedere al unui fizician) ca unicitatea de care vorbesti sa fie adevarata. Pana la proba contrara.  

 

0 0
nu m-am simţit deloc atacat, mi-am recunoscut greşeala. Valorile m şi n din problema originală nu au legătură cu exponenţi din formula lui Euclid sa nimerit să fie doar o coincidenţă deci nu au legătură, formula lui Euclid am luat-o de pe wikipedia aşa cum am scris-o şi am preferat să nu schimb exponenţi se pot pune alte litere nu contează. Da şi formula lui Euclid nu produce toate tripletele posibile. Şi termenii din ecuaţia originală după ce înlocuim pe m cu 4 şi n cu 2 vom obţine chiar primul triplet de numere pitagoreice 3, 4 şi 5.

2^m+3^n=x^2 sau

3^n+2^m=x^2 unde înlocuind pe n şi m cu 2 respectiv 4 obţinem

3^2+2^4=5^2 unde pe 2^4 îl pot scrie ca 4^2 fiind soluţia unică a ecuaţiei a^b=b^a şi atunci avem

3^2+4^2=5^2 şi am obţinut primul triplet pitagoreic 3, 4 şi 5
0 0
2^m= -2^m este greşit

corect este 2^m= (-2)^m unde m nu poate fi decât par

exemplul care l-am dat cu m=4 corect era 2^4= (-2)^4 şi în acest caz (-2)^4 este (-2)*(-2)*(-2)*(-2)=16 când avem exponentul par întotdeauna vom obţine un număr pozitiv şi când exponentul este impar întotdeauna vom obţine un număr negativ.

în cazul în care -2^4 sau mai putem scrie -1*2^4 şi -2 nu este în paranteză atunci avem  -(2*2*2*2)= -16 şi în acest caz nu contează dacă exponentul este par sau impar dacă baza este număr negativ şi nu este în paranteză întotdeauna vom obţine un număr negativ.

Întradevăr lucruri banale dar de o importanţă majoră pentru că astfel de greşeli banale cum am făcut şi eu pot schimba total rezultatul unei probleme.
0 0

$ Raul89: cred că sînteţi adeptul teoriei care susţine că 0 nu este număr natural pentru că altfel aţi fi pomenit de soluţiile (3,0,3) şi (0,1,2). Demonstraţia dvs. este interesantă, nu m-am gîndit la această abordare. Dar referitor la răspunsul dvs., trebuia să arătaţi că 3^(m/2) = a^2 - b^2 şi nu doar 3 (asta printre altele). Deşi aţi prezentat acest lucru într-un fel, nu este o soluţie matematică, ci o muncă de ocnaş. Mulţumesc pentru străduinţă şi vă apreciez ca de altfel şi pe user-ul mircea_p.

0 0

întradevăr nu am pomenit de soluţiile (3,0,3) şi (0,1,2) pentru că l-am exclus pe zero din problemă el nefăcând parte din numerele naturale, deci nu sunt adeptul nici unei teorii pentru că chiar aşa este. Pentru că eu aşa îmi aduc aminte de la şcoală de la matematică că ne-a învăţat că şirul numerelor naturale începe cu 1, 2, 3,... sau se mai numesc cardinale şi pe urmă am învăţat de numerele întregi în care ştiu că ni sa desenat pe tablă axa numerelor în care aici apare zero fiind în mijloc şi într-o parte aveam numerele naturale şi în cealaltă parte numerele negative sau opusul numerelor naturale, deci zero apare la numerele întregi şi nu naturale, care întradevăr şirul numerelor naturale face parte din şirul numerelor întregi.

Şi acum aş mai vrea să citez două paragrafe din două carţi de Florica T. Câmpan nu înainte să spun cine a fost Florica T. Câmpan

Florica T. Câmpan a fost o matematiciană română, cercetătoare în domeniul geometriei și al istoriei matematicii.

Este cunoscută prin cărțile sale de istoria matematicii, scrise într-un limbaj viu, accesibil.  http://ro.wikipedia.org/wiki/Florica_T._Câmpan

prima carte: Poveşti despre numere maiastre 1981

citez "Până acum ori de câte ori a fost vorba despre numerele naturale s-a folosit denumirea sinonimă de numere cardinale, dar nu şi pe aceea de numere întregi deşi numerele cardinale (sau naturale) sînt numere întregi. De ce? Fiindcă există o sumedenie de numere întregi care NU SÎNT numere naturale: de pildă, numărul zero sau numerele negative.

a doua carte: Cum au apărut numerele 1987

citez din paragarful "Zero este semn sau număr?"

"-Este un semn, ar fi răspuns, netezindu-şi peruca măiestrit ondulată, orice savant din veacul al XVI-lea.

-Ba este un număr! răspunde azi Maria, elevă în clasa a V-a. Este un număr fiindcă dacă mă întrebi: ,,câte stele sunt pe masă?" am să-ţi răspund: ,,zero". Tot acelaşi număr, continuă ea fără ezitare, răspunde la întrebarea: ,,cât rămâne dacă scădem doi din doi"!

-Este zero un număr natural? o întreb eu, mai departe, pe Maria. O văd încurcată, nu ştie ce să-mi răspundă, aşa că de data aceasta o ajut. Zero NU-I un număr natural, ca 1, 2, 3,..., el a apărut şi mult mai tărziu în societatea numerelor naturale, dar este un număr întreg, fiindcă de la el începe numărarea, el este originea la orice scară gradată, fie ea un dubludecimetru, fie un termometru, fie un galvanometru. De aceea zero se notează cu o cifră ca oricare alt număr întreg."

http://ro.wikipedia.org/wiki/Număr_natural

http://ro.wikipedia.org/wiki/Număr_întreg

...