Buna seara !
Iata o demonstratie inspirata de pe net:
-Fie x acel numar prim cu 10, atunci si numarul 9x este prim cu 10.
-Teorema Fermat-Euler scrisa pentru numerele prime intre ele 9x si 10 afirma ca in aceste conditii 10^φ(9x) = 1 (mod 9x), unde φ este functia lui Euler (1 fiind restul impartirii la 9x). Din asta rezulta ca 10^φ(9x) -1 este divizibil cu 9x, deci [10^φ(9x)-1]/9 este divizibil cu x.
-Dar asta inseamna ca x divide numarul 111...111 cu φ(9x) cifre de 1, caci acesta este egal cu 1+10+100+ ...10^[φ(9x)-1], suma egala cu [10^φ(9x)-1]/9 !