Daca {a,b,c} ∊ N si a²+b²= c² ⇒ 6|ab ?

Question

La multi ani!

Comments

Îmi șoptește Wikipedia că de fapt 12|ab. Nu știu să demonstrez.

---

E chiar si mai interesant: totdeauna una din laturi este multiplu de 3, alta multiplu de 4 si alta multiplu de 5, deci produsul celor 3 laturi este multiplu de 60 !

---

7, 24, 25. Numai cele care pleaca de la singurele numere pitagorice consecutive sunt cum ati spus dvs. Dar este adevarat  ca produsul lor este multiplu de 60.

---

Nu m-am exprimat exact, ideea este ca unul din termeni va fi precis divizibil (si) cu 5!

Felicitari intrebatorului si rezolvitorului !

 

PS: Gasisem si eu pe net o rezolvare (vedeti inceputul si continuarea in penultimul paragraf):

http://2000clicks.com/mathhelp/PythagTriples.aspx

 

---

Nu ca ar fi extrem de important, dar se scrie corect matematic {a, b, c} inclus N.

Answer 1

 An Nou bun! 

  

 Răspunsul vine din modul clasic de construcție a tripletelor pitagoreice. 

  

 Dacă avem a, b, c naturale astfel încât a^2+b^2=c^2, atunci se verifică ușor că a,b și c se pot scrie sub forma 

  

       a=m^2-n^2 

       b=2mn 

       c=m^2+n^2,     unde m, n sunt naturale și m>n. 

  

 În aceste condiții avem: 

  

       ab=2mn(m^2-n^2)=2mn(m+n)(m-n).   (1) 

  

 Se vede că produsul ab e divizibil cu 2, mai rămâne să vedem dacă e divizibil și cu 3, pentru a fi divizibil cu 6. 

 Cazul 1: m sau n sunt divizibili cu 3, implică imediat că ab se divide cu 2*3=6. 

  

 Cazul 2: m se divide cu 3 modulo 1 și n se divide cu 3 modulo 1, adică m=3k+1 și n=3p+1, k și p naturale. Înlocuind în (1), rezultă: 

  

       ab=2(3k+1)(3p+1)(3k+1+3p+1)(3k+1-3p-1). 

  

 Ultimul factor este 3(k-p), multiplu de 3, deci ab e divizibil cu 2*3=6. 

  

 Cazul 3: m se divide cu 3 modulo 1 și n se divide cu 3 modulo 2, adică m=3k+1 și n=3k-1. înlocuind în (1), rezultă: 

  

       ab=2(3k+1)(3p-1)(3k+1+3p-1)(3k+1-3p+1) 

  

 Penultimul factor este 3(k+p), multiplu de 3, deci ab e divizibil cu 2*3=6. 

  

 Din simetria relațiilor rezultă că nu mai e nevoie să analizăm alte situații în care se află m și n. 

  

  

  

Comments

Merge si pentru 12|ab . Si eu am gandit-o la fel. As mai avea una.

 

---

Da, am vazut acum. In cazul in care m si n sunt pare, ab e divizibil si cu 2, deci e divizibil cu 12. Pentru cazul in care m si n sunt ambele impare, din (1) se observa ca (m+n) si (m-n) sunt pare, Daca unul e par si celalalt impar, sa zicem m par si n impar, din

2mn(m+n)(m-n)=6k => mn(m+n)(m-n)=3k => m*(numar impar)=3k => k trebuie sa fie par, deci 2mn(m+n)(m-n)= 6*2p=12p.

---

Transformarea de la (a, b, c) la (m, n) se verifică ușor, într-adevăr, dar mai trebuie demonstrat că toate numerele pitagoreice se pot scrie sub forma respectivă. Pînă atunci rămîne posibil ca, deși toate tripletele (a, b, c) obținute din m și n naturale sînt pitagoreice, să existe totuși și numere pitagoreice care nu se pot obține astfel. Iar problema cere ca divizibilitatea să fie demonstrată pentru toate tripletele pitagoreice.

În rest felicitări pentru soluție.

---

 O demonstrație a faptului că toate tripletele pitagoreice se pot scrie sub această formă nu e nici simplă și nici scurtă.  

  

 Și eu mi-am pus problema necesității unei demonstrații. 

  

 Link-ul dat de Truth în comentariul sau, pe care l-am parcurs pe repede-înainte, pare să dea o demonstrație a relației bijective între mulțimea tripletelor pitagoreice primitive și a perechilor de numere m și n. 

---

Superb răspuns. Explicaţi-mi, totuşi, cum se verifică uşor  (a,b,c)- > (m,n).

---

Se verifică ușor că oricare ar fi numerele m și n naturale, formulele acelea duc la triplete (a, b, c) care sînt numere pitagoreice. Iată:

(m^2-n^2)^2 + 4m^2n^2 = (m^2+n^2)^2

Egalitatea se vede cu ochiul liber.

Invers e mai greu, adică să demonstrezi că pentru orice triplet pitagoreic există numerele m și n naturale. Dar înțeleg că demonstrația există.

---

Mersi, dar nu era evident ca pentru "invers e mai greu" am comentat?

Pe de altă parte am crezut că prin verificare uşoară s-ar putea  înţelege chiar o verificare practică, mecanică. Putem presupune că (a,b,c) se pot descie altfel şi demonstrăm că 2013|ab.

---

Scuze, dar nu, nu era evident. În discuția asta două persoane au scris că „se verifică ușor” ceva și nu era clar pe care o citați. În plus, atît Puiu cît și eu am spus deja că invers e mai greu; în schimb nu a spus nimeni că invers e ușor de verificat.

Ca să nu crească tensiunea în discuții era mai rezonabil să spuneți ceva de genul „Mersi, dar vorbeam de transformarea inversă” în loc de întrebarea dumneavoastră retorică și ușor înțepată.

---

Ba era evdent pentru că nimeni nu aşteaptă  ridicări simple  la pătrat dar iintenţia dumneavoastră este lăudabilă - mulumesc- totuşi, cum rămâne cu presupunrea, sau o luăm ca o axiomă?

---

Bine, atunci nu a fost evident pentru mine. Așa sînt eu, mai prost.

Nu înțeleg nici ce întrebați legat de presupunere și axiomă.

---

#AdiJapan. Nu pricep în ruptul capului meu frumos, de ce se pleacă de la :  

       a=m^2-n^2 

       b=2mn 

       c=m^2+n^2,     unde m, n sunt naturale și m>n. 

Dacă ştiţi o utilitate practică a acestor numere v-aş rămâne recunoscătoare. Nu am băgat de seamă autocaracterizarea dumneavoastră.

---

Utilitatea practica este ca metoda de generare a tripletelor pitagoreice.

Faptul ca intre numere exprimate astfel exista relatia lui Pitagora e usor de probat, cum v-a aratat si AdiJapan.

Demonstrarea faptului ca pentru orice tripleta pitagoreica exista o pereche (m, n) care sa o genereze nu e, cum am spus in comentariu, nici simpla nici scurta.

Truth a indicat in comentariul sau un link unde sa obtineti lamuriri. Mai sunt si altele.