Considerăm un cilindru de rază r pe care se înfășoară cartea. Observăm că fiecare foaie se înfășoară pe jumătate din circumferința cilindrului.
De asemenea, considerăm cotorul cărții aflat exact în poziția din care începe curbarea, în partea de jos a desenului.
Notăm grosimea fiecărei foi cu g și începem cu prima foaie. Lungimea foii, de la cotor și până unde se termină, notată cu l, este egală cu jumătate din circumferință plus lungimea necurbata, notată cu h:
Avem, deci l=pi*r+h (1)
Următoare foaie înfășoară o semicircumferinta mai groasă cu g decât prima și va ajunge la o distanță mai mică de linia de tangenta cu cilindrul, adică, prin îndoire, apare un decalaj de suprapunere. Notăm acest decalaj cu d. În aceste condiții, avem
l=pi(r+g)+h-d (2)
(1) și (2) => pi*r+h=pi*r+pi*g+h-d => d=pi*g.
Observăm că adăugând încă o foaie, noul decalaj de suprapunere apărut de calculează identic și se obține același rezultat, d=pi*g.
Ceea ce se obține adăugând foi este o scară, cu înălțimea treptei egală cu g și o adâncime d=pi*g. Planul din desen nu există fizic, desenul trebuia să arate zig-zagul treptelor și nu linii continue (aceasta e greșeala din desen).
Prin urmare, unghiul a din desen este unghiul dintre cateta d și ipotenuza triunghiului dreptunghic de catete g și d=pi*g.
Observăm că tga=g/pi*g=1/pi => a=arctg(1/pi).
Pentru mine acest rezultat a fost surprinzător deoarece, intuitiv, mă așteptam să conteze și r și g.
Răspunsul este că unghiul a nu depinde de niciuna din variabilele din ipoteză.