Dependenta intre variatia temperaturii unui corp si durata

Question

Sa zicem ca am 1 kg de fier (o masa marcata). Caldura specifica o cunosc. Cunosc si temperatura initiala (sa zicem 20 °C). Pun acea masa intr-un frigider care mentine in interior o temperatura de 5°C. Pot afla/determina matematic in cat timp corpul ajunge de la 20°C la 5°C? In principal as fi interesat de relatia matematica dintre variatia temperaturii si durata. Pentru a infrumuseta problema: in loc de fier folosesc apa intr-un vas cu capacitate calorica neglijabila (sa zicem o punga) si in loc de 5°C vreau sa aduc acea masa de apa la -18°C.

Comments

am gasit ceva http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/cootime.html#c1

Answer 1

Da, puteți calcula cum depinde temperatura de timp, cu o destul de bună aproximație. Dar pentru asta trebuie să știți (sau să măsurați sau să calculați) un parametru esențial: rezistența termică a contactului termic dintre corp și mediu. Dacă îl știți, formula e simplă, exponențială:

T(t) = Tm + (T0-Tm)*exp(-t/(RC))

T(t) este temperatura corpului în funcție de timp
Tm este temperatura mediului (cele 5°C din frigider)
T0 este temperatura inițială a corpului (20°C)
R este rezistența termică dintre corp și mediu
C este capacitatea calorică a corpului.

Pentru corpuri omogene C = c*m, produsul dintre căldura specifică și masă. E ușor de calculat.

În schimb calculul rezistenței termice e mult mai complex. Ea depinde în cazul general de grosimea stratului de izolație, de forma lui și de proprietățile lui de conducție termică. În cazul de față izolația e un strat de aer din vecinătatea corpului, dar grosimea lui e greu de apreciat, pentru că de fapt sînt mai multe straturi succesive, de temperaturi diferite, a căror formă depinde printre altele și de curenții de aer. Există formule de estimare, dar ele dau erori relativ mari. Cel mai simplu e să măsurați efectiv temperatura ca funcție de timp și apoi să calculați R prin fitare cu funcția de mai sus. Acel R va fi valabil cu bună precizie pentru orice alt corp de aceeași formă pus în același mediu.

Ați observat poate că formula seamănă foarte bine cu aceea de descărcare a unui condensator electric de la o tensiune la alta prin intermediul unui rezistor. Motivul acestei asemănări e faptul că în ambele cazuri (și în altele) fenomenul se produce astfel: transferul de căldură, sarcină electrică etc. se face cu atît mai repede cu cît diferența de temperatură, tensiune etc. este mai mare. Ecuația diferențială care apare din asta se rezolvă în același fel și duce la aceeași dependență exponențială.

Matematic vorbind, temperatura corpului nu o va atinge niciodată pe a mediului, ci se va apropia de ea asimptotic. Practic vorbind, după o vreme diferența de temperatură va deveni neglijabilă sau nemăsurabilă. Produsul RC are unități de timp (și la fenomene termice, și al fenomene electrice) și se numește constanta de timp a fenomenului. După trecerea unui interval de timp egal cu RC diferența dintre corp și mediu se micșorează de e ori (2,718). Asta înseamnă că după n astfel de perioade de timp diferența se reduce de e^n ori. Dacă n e suficient de mare, diferența devine nesemnificativă.

În cazul în care corpul are tranziții de fază (își schimbă starea de agregare) pe parcursul procesului, scăderea temperaturii este exponențială pînă cînd corpul ajunge la temperatura tranziției (0°C în cazul apei). Acolo temperatura rămîne constantă pe măsură ce se produce tranziția; timpul tranziției se poate afla calculînd cantitatea de căldură necesară pentru terminarea tranziției și știind rezistența termică a contactului. După terminarea tranziției de fază temperatura începe din nou să scadă, tot după o funcție exponențială, dar acum capacitatea calorică e alta (apa și gheața au călduri specifice diferite), deci viteza descreșterii imediat înainte de înghețare și imediat după înghețare e alta, deși diferența de temperatură față de mediu e aceeași.

Răcirea radiativă pe care ați găsit-o la Hyperphysics e altceva. Transferul de căldură prin radiație termică al unei bucăți de fier la 20°C puse în frigider la 5°C e neglijabil în raport cu răcirea prin conducție și convecție. Lucrurile stau invers la filamentul unui bec incandescent.

Comments

Şi rezistenta termica in cele trei situatii (apa lichida, apa+gheata in echilibru si gheata) ramane aceeasi? Din ce am inteles eu ar trebui sa ramana aproximativ aceeasi. Se modifica putin volumul apei, deci implicit si forma (suprafata) stratului superficial de aer. In tot cazul, o sa fac experimentul. Cu un termocuplu introdus in apa. Citesc temperatura din 5 in 5 minute si trasez graficul. Îs curios ce voi obţine. Intr-adevar, pe hyperphysics am gasit doar transferul prin radiatie. Acolo apare si emisivitatea termica pe care nu pre o pot estima. Sau nu ma duce capul.

---

Rezistența termică rămîne practic aceeași. Prin înghețare crește volumul și deci și suprafața de contact, dar creșterea este neglijabilă. Mai degrabă ar conta faptul că gheața are o conductivitate termică mult mai mare decît a apei (de vreo 4 ori), ceea ce înseamnă că straturile exterioare ale pungii de apă înghețată conduc mai bine căldura. Dar și asta e neglijabil în practică, pentru că grosul rezistenței termice e dat de aerul din jurul obiectului.

Da, experimentul vă va arăta cum evoluează lucrurile. Atîta doar că dacă citiți temperatura doar la fiecare 5 minute o să treacă neobservate fenomenele rapide de tranziție. De exemplu formula pe care v-am dat-o spune că temperatura începe să scadă rapid imediat ce introduceți obiectul în frigider, dar în realitate curba e puțin mai rotunjită, începe cu un mic palier, pînă cînd toate straturile de apă ajung la regimul de scădere a temperaturii (mai contează și poziția termometrului în apă). Dacă citiți temperatura mai des, de exemplu la fiecare 10 s sau măcar la fiecare minut, cel puțin la începutul experimentului, o să observați lucrurile astea. Și mai bine ar fi dacă ați putea înregistra temperatura automat, să zicem la fiecare secundă (nu e greu, puteți folosi de exemplu un Arduino legat la calculator și un sensor de temperatură ca LM35).