Observăm că termenii sumei pe care o notăm cu S sunt de forma ak (a indice k)=1/(k^2+k-1), unde k ia valori naturale de la 2 la 2012. Rescriem termenii sub forma ak=1/[k(k+1)-1].
Vom calcula mai întâi suma S' cu termenii de formă ak'=1/[k(k+1)], k luând valori de la 2 la 2012. Observăm că termenii lui S' sunt mai mici decât termenii de ordin k corespunzători ai sumei S, deoarece fiecare numitor al termenilor din S' este mai mare cu 1 decât numitorul termenului corespunzător din S, deci S>S'.
Avem: S'=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+...+1/(2011*2012)+1/(2012*2013), care se poate rescrie sub forma S'=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/2011-1/2012)+(1/2012-1/2013). După reducerea termenilor care se anulează, rezultă S'=1/2 - 1/2013.
Revenind la S și comparând primul termen al lui S, notat cu a1, cu primul termen al lui S',notat cu a1', pentru k=2 avem: a1=1/5 și a1'=1/6 =>a1-a1'=1/30.
Deci S este mai mare decât S' cu cel puțin 1/30. Dar S'=1/2-1/2013 => S este cu cel puțin 1/30 mai mare decat 1/2-1/2013, adică, S>1/2-1/2013+1/30.
Cum 1/30>1/2013, rezultă că S>1/2