Cat este masura unghiului BMC daca:

Question

∆ABC, AB≡AC, M∈(AB), AM≡BC, m∠(BAC)=36°.

Answer 1

 

 Voi da o soluție accesibilă nivelului gimnazial. 

 Observăm de la început că unghiurile ABC și ACB au fiecare 72 grade. 

 Construim bisectoarea unghiului ABC și notăm cu N intersecția acesteia cu latura AC. 

 Observăm că triunghiul NAB este isoscel cu vârful în N, deoarece unghiurile de la bază sunt egale (au fiecare 36 grade), deci segmentele NA și NB sunt egale, NA=NB (1). Rezultă de aici și că unghiul ANB=108 grade => unghiul BNC=180-108=72, adică BNC=72 grade (2). 

 (2)=> triunghiul BNC este isoscel cu vârful în B deoarece unghiurile de la bază sunt egale (au fiecare 72 grade) => segmentele NB și BC sunt egale, adică NB=BC (3). 

 (1) și (3) => NA=BC, dar BC=MA din ipoteză, deci NA=MA => MB=NC. Aplicând reciproca Teoremei lui Thales (e simplu de demonstrat că e valabilă) triunghiului ABC intersectat de segmentul MN, rezultă că segmentul MN este paralel cu BC, deci patrulaterul MNCB este un trapez isoscel. Unghiurile analoage formate de diagonalele trapezului cu laturile neparalele sunt egale, deci unghiurile BMC și BNC sunt egale și aplicând (2) => unghiul BMC=72 grade.  

Comments

Excelent. Eu m-am gandit ca piciorul bisectoarei unghiului C se identifica cu M si evit Thales.

---

Thales e doar unul din argumentele ca MN II BC. Se poate vedea si ca unghiurile MNB si NBC sunt egale si  fiind alterne interne la secanta BN care taie BC si MN rezulta ca MN II BC.
Se observa usor si ca triunghiurile BMC si CNB sunt asemenea (LUL), deci unghiul BMC e egal cu BNC=72 grade.
Se mai poate arata simplu si ca triunghiurile ANB si AMC sunt asemenea (LUL), de unde rezulta ca unghiul ACM are 36 grade si deci CM e bisectoare a unghiului C, de unde se poate calcula unghiul BMC.
CM e bisectoare a unghiului C doar in cazul particular al ipotezei propuse, cand A=36 grade.

---

Nu cumva numai in acest caz particular ati lucrat si dvs?

---

Foarte adevarat. M-am prins de asta cand am incercat o generalizare. Ca sa gasesc solutia a trebuit ca unghiul A sa fie 180/5, astfel incat sa fie egal cu jumatatile unghiurilor B sau C. Daca A nu are 36 grade, toate triunghiurile isoscele identificate nu mai sunt isoscele.

---

De fapt cred ca ideea problemei vine de la o problema mai simpla (tot A=36) in care ducem bisectoarea din C si sa aratam ca BC=MA (CM bis). Eu asa am gandit-o.

---

Va salut domnilor !

Ma mir ca nimeni nu aminteste ca aceasta problema este celebra, fiind  legata de "fi - raportul de aur", cu dezvoltari foarte frumoase, fiind aplicata masiv in arhitectura, arta, etc - ca sa nu mai zic ca este regasita si in natura.

Iata vreo doua linkuri:
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html#PhiRects

---

Justa observatia. Preocupat sa determin marimea unghiului cerut, nu mi-a dat prin minte ca e una din  configuratiile care determina geometric ratia de aur.

---

Frumos! :)

Answer 2

Considerând că vrei decât răspunsul, nu şi calculele:  

Comments

Mai calculati.

---

Scuze, 72.

---

De ce ați considerat că la o problemă de matematică s-ar cere numai răspunsul, nu și calculele?

---

În cazul de faţă asta se cere: "Cât este măsura...", nu "Să se calculeze...".

---

Nu văd diferența.

---

Diferenţa este că se cere doar rezultatul, nu şi calculul. Exact ca la problemele cu variante de răspunsuri unde trebuie încercuit cel corect: se lucrează pe ciornă iar în final se alege rezultatul.

---

Da, neaparat trebuie adusa si demonstratia altfel se poate folosi vreun program cum ar fi Acad. Eu am demonstratia si sper sa o expun cat mai repede. Deocamdata un indiciu care atesta rezolvarea, pentru trabuk &Co: 2xsin18=(1-2xsin18)/2xsin18 ;)

Answer 3

Nu-mi prea place rezolvarea pentru ca a trebuit sa apelez la sinus dar, am ajuns la rezultat:

Constructie ajutatoare:

MP paralel la BC, P apartine lui AC

AS perpendicular pe BC, S apartine BC

AS intersecteaza pe MP in T

_________________________________________________

BS/AB = sinSAB

BC/2xAB = sin(36/2)

AM/2xAB = sin18

AM/(AM+BM)=2xsin18

AM = (AM+BM)x2xsin18

AM(1-2xsin18)=2xBMxsin18

BM = [(1-2xsin18)/2xsin18]xAM = 0.38196601125010515179541316563436/0.61803398874989484820458683436564 x AM = 0.61803398874989484820458683436564 x AM

______________________________________________

MT/AM = sinTAM

(MP/2)/AM = sin(36/2)

MP = [2xsin18]xAM = 0.61803398874989484820458683436564 x AM

_____________________________________________

Deci, daca BM = MP pot spune ca triunghiurile ABC si CBM sunt congruente datorita cazului LUL (latura unghi latura), deci CBM este isoscel => unghiurile CBM si BMS sunt congruente si egale cu 72 de grade.

QED

Comments

Frumos!
Eu o rezolvasem algebric: am notat unghiurile formate cu litere, am ţinut cont că suma lor într-un triungi este de 180 grade, am înlocuit nişte sume într-o ecuaţie şi a ieşit. Prima dată greşisem la nişte adunări :).

---

Problema este de clasa  a VI-a. Mi-a placut si de aceea am vrut sa o fac cunoscuta. Mai este pana la trigo dar o sa va bucurati daca folositi ceva de la sfarsitul dem. dvs.

---

∆ABC≡∆CBM? LUL?