Am rezolvat bonusul, dat va trebui un adevărat tur de forță pentru a povesti desene. Încerc.
Precizez că situația în care cercurile sunt egale e banală, deci voi lua cazul cercurilor inegale, cel mare de rază R și cel mic de rază r, cu centrele O, respectiv o.
Mai precizez că avem de studiat două tipuri de situații:
- tipul A, în care tangentele se află de o parte și de cealaltă a segmentului care unește centrele cercurilor și
- tipul B, în care tangentele intersectează segmentul care unește centrele cercurilor.
Cu o ultimă observație, aceea că în fiecare din situațiile A și B e suficient să construim o singură tangenta, cealată formându-se analog, începem cu tipul A.
Dăm compasului o deschidere egală cu R-r și, cu această deschidere desenăm în interiorul cercului mare un cerc concentric de rază R-r.
Din centrul cercului o rămas în afară, ducem o tangentă la cercul de rază R-r, am arătat mai sus cum. Unim O cu cu punctul de tangenta obținut și prelungim acest segment până intersectează circumferința lui O. Din modul cum le-am construit, cele două circumferințe concentrice au între ele distanța r. Raza R formează un unghi drept cu tangenta construită.
În cercul o desenăm raza acestuia astfel încât ea să fie paralelă cu R obținut la pasul anterior (se poate doar cu rigla și compasul).
Unind punctul de intersecție al lui R cu cercul O și punctul de intersecție al lui r cu cercul o, se obține un segment paralel cu tangenta din o la cercul de rază R-r.
Aceste două segmente, împreună cu r obținut în o și distanța r delimitată pe R din O de cele două circumferine concentrice, formează un paralelogram cu un unghi drept, deci un dreptunghi.
Aceasta înseamnă că segmentul astfe construit este tangent la cele două cercuri.
Am rezolvat și situația B, dar e ceva mai complicată și o voi scrie mai târziu. Bineînțeles, dacă între timp nu se găsește cineva care să o rezolve.