Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
1.3k vizualizari

cu q şi aq +1 se divide cu p. Demonstraţi că numerele p şi q sunt prime între ele si ca a ≥ (pq-1)/(p+q).

Junior (928 puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Pentru primul punct al problemei, demonstratia ar fi mai simpla, zic eu, in felul urmator  si este suficienta o singura relatie, fie p divide aq+1, fie q divide ap+1.

Si sa analizam una dintre ele,  p divide aq+1.

1) p divide aq+1

2) q divide aq  (⇒q nu divide aq+1)

Analizand  numai aq si aq+1, acestea sunt numere prime intre ele, de unde rezulta ca si numerele p si q sunt prime intre ele. Daca p si q ar avea un divizor comun ar insemna ca aq si aq+1 ar avea la randul lor, acelasi divizor comun si nu ar mai fi prime intre ele.

A doua parte este demonstrata corect de Cip Pruteanu.

 

Junior (584 puncte)
0 0
Da, ai dreptate, m-am complicat inutil cu ridicarea expresiei la patrat.
0 0
Multumesc.De fapt daca p/(aq+1) atunci (p,q)=1
0 0
Nu numai. Daca "a" este mai mare decat 1, iar p divide aq+1, atat a si p sunt prime intre ele, cat si p si q sunt prime intre ele.
1 plus 0 minusuri
p divide aq+1=> p divide (aq+1)^2 => p divide a^2*q^2+2*aq+1
q divide q => q divide aq => q divide (aq)^2 => q divide a^2*q^2 + aq

Din ultimile doua deducem ca exista k astfel incat k divide q si k divide p, care implicit va divide si diferenta celor 2 expresii de mai sus => k divide 1 => k=1 => p si q sunt prime intre ele

Pentru a doua parte, avem: p si q prime intre ele, p divide aq+1 si q divide ap+1 => pq divide (aq+1)(ap+1) => pq divide a^2*pq+ap+aq+1

Dar pq divide pq iar a numar natural nenul => pq divide a^2*pq

Din cele 2, avem pq divide diferenta => pq divide ap+aq+1 => ap+aq+1 >= pq =>
a (p+q) >= pq -1 => a >= (pq-1)/(p+q)

Asta e demonstratia la nivel de clasa a V-a (parca).
Junior (647 puncte)
0 0
Buna seara. Daca se poate un pic mai explicit cu "exista k...."
0 0
Exista un numar care e divizor atat al lui p cat si al lui q, si care in acest fel ar divide ambele expresii, si implicit si diferenta lor. Un exemplu ar fi daca p ar fi 4 si q 6, ar exista 1 si 2 ca divizori ai ambelor numere, iar astfel unul dintre ele ar divide si diferenta respectivelor sume. Evident, asta nu e si in cazul nostru, unde diferenta sumelor este 1, si astfel singurul divizor comun al celor doua numere ar fi 1, ele fiind astfel prime intre ele. Daca tot nu e clar, as aprecia daca ai preciza exact ce parte nu se intelege.
0 0
Inteleg asa Daca numerele psi q nu sunt prime intre ele atunci ar exista un k diferit de unu divizor comun si se ajunge la o contradictie cu k=1.Merge dar in clasa a 5-a....
0 0
Nu in clasa a 5-a se invata divizibilitatea, si se fac probleme de astea, cu a arata ca niste numere sunt prime intre ele divizand diverse chestii, a caror diferenta la un moment dat ajunge sa fie 1 ? Au trecut cativa ani de cand am facut clasa a 5-a, deci s-ar putea sa imi aduc aminte gresit.
Si da , ai dreptate, daca iti vine mai usor, fa-o prin metoda contradictiei, presupune ca e diferit de 1. Dar general vorbind, nu ai nevoie de acea conditie, pentru ca daca sunt prime intre ele o sa iti iasa automat ca doar 1 e divizor comun.
...