Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter

SPRIJINĂ
DEZVOLTAREA
SCIENTIA

2,686 intrebari

5,578 raspunsuri

12,434 comentarii

1,645 utilizatori

Cum se demonstreaza ca singurul numar cuprins intre un patrat perfect si un cub perfect este 26?

1 plus 0 minusuri
621 vizualizari a intrebat trabuk Junior (777 puncte) Aug 23, 2012 in categoria Matematica
  
Cred ca ar fi interesanta si demonstratia la problema ca singurele numere consecutive cub perfect si patrat perfect sunt 8 si 9.
PS Nu cred ca sunt conjecturi (cel putin a doua).
Formularea e ambiguă, pentru că „cuprins între” nu înseamnă neapărat la diferență de 1.

În orice caz, din ce găsesc pe internet înțeleg că demonstrația este foarte complexă. În rest informațiile sînt contradictorii. Unii spun că Fermat ar fi făcut demonstrația, alții spun că el doar a scris ecuația x^2+2=y^3 și a lăsat-o nedemonstrată. Apoi unii spun că Euler i-a dat o demonstrație, iar alții spun că demonstrația lui era greșită și că abia după un secol s-a găsit o demonstrație bună. N-am găsit nici o sursă mai de încredere despre asta.

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
Probabil mai interesant decat raspunsul la aceasta intrebare particulara ar fi raspunsul la intrebarea generica, privind solutiile in numere intregi ale ecuatiilor algebrice (cu coeficienti intregi/rationali, de grad trei) in doua variabile.

 

In acelasi spirit, poate oamenii s-au intrebat in antichitate cum sa determine Numarul/Raportul de Aur (anume

Phi = (1 + SQRT(5))/2),

stiind ca definitia sa geometrica duce imediat la ecuatia de grad doi

x^2 - x - 1 = 0.

Evident, se constata rapid ca e mai util de inteles cum se rezolva o ecuatie de grad doi arbitrara (anume, prin completarea patratului).

 

Pentru a intelege un pic mai bine, voi spune doar ca problema pusa implica utilizarea "curbelor eliptice" (curbe plane, date de polinoame de grad trei in doua variabile, inspirate de incercarea de a calcula lungimea unei elipse folosind formula integrala uzuala). Aceste curbe eliptice au proprietati extraordinare (au fost folosite si in rezolvarea Ultimei Teoreme a lui Fermat, prin 1993, de catre Andrew Wiles), cea mai simpla dintre ele fiind aceea ca ... punctele sale formeaza un grup comutativ (abelian, ca denumire alternativa). Pentru a "aduna" doua puncte de pe o astfel de curba, se considera al treilea punct de intersectie al dreptei care le uneste cu curba, apoi al treilea punct de intersectie cu curba al dreptei ce uneste punctul gasit anterior cu un punct de inflexiune al curbei. Acesta este "suma" punctelor initiale.

Axioma de grup abelian cel mai dificil de verificat este Asociativitatea (acestei  adunari), si ea rezulta din micul rezultat de geometrie algebrica al carui enunt este:

"O curba (plana) de grad trei, care trece prin 8 puncte comune la doua curbe plane de grad trei date, va trece si prin a 9-lea punct comun al curbelor cubice date. "

O introducere accesibila (pentru studenti boboci, ani 1 - 2) in acest subiect este cartea lui Silverman si Tate "Rational Points on Elliptic Curves",

http://www.amazon.com/Rational-Points-Elliptic-Undergraduate-Mathematics/dp/0387978259

pe care v-o recomand cu caldura.

La pag. 147 a acestei carti, gasiti oarecum raspuns la intrebarea dvs. originala: Alan Baker a prezentat (in cartea sa din 1966, "Transcendental Number Theory") o metoda de gasire a tuturor solutiilor de genul solicitat. Totusi, punerea in pracxtica a metodei ar putea necesita un calculator, din cauza magnitudinii numerelor implicate.

Gasiti cartea aici (puteti vedea cuprinsul, plus o selectie de pagini):

http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X

Cartea necesita cunostinte minimale de algebra si de teoria functiilor de o variabila complexa, asa cum se fac ele pana in anul doi la facultatile romanesti de matematica. De asemenea, aceste carti pot fi gasite la bibliotecile facultatilor respective.

Evident, intrebarea dvs. ar putea avea un raspuns mai scurt, fiindca e un caz special. Dar lectura primei carti (mai ales), va poate clarifica mult mai bine problema in ansamblu.
a raspuns E.T. Novice (107 puncte) Aug 24, 2012

...