M-am interesat puțin și am constatat că zodiile sunt diferite ca număr de zile. Sunt:
- 6 zodii de 30 de zile
- 4 zodii de 31 de zile
- una zodie de 29 de zile
- una zodie de 32 de zile
(În paranteză scriind, nu mi-am închipuit că se consumă atâta energie, aproape degeaba zic eu, pentru a le „manipula”; probabil că merită, și mă gândesc în special la aspectul financiar)
Faptul că repartiția zilelor pe zodii e cam încurcată, complică destul de mult raționamentul (urmat de mine). Așa că pentru a ajunge cel puțin la un rezultat aproximativ am efectuat niște aproximări. Am considerat zodiile egale ca durată, adică aproximativ 30,4 zile (30 zile 9 ore și 36 minute).
Bineînțeles că nu am ajuns la nici un rezultat final, doar la unul parțial.
.
Și atunci, pentru a testa cumva logica abordării, printr-un rezultat final, am simplificat problema cam așa:
Dintr-un eșantion de 5 persoane, care e probabilitatea ca 2 persoane să aibă aceeași culoare a ochilor din 3 culori posibile (deci simplificările sunt: 5 în loc de 21, 2 în loc de 5 și 3 în loc de 12)
.
Ordonând puțin lucrurile:
O1 O2 O3 O4 O5 - Cele cinci persoane ale eșantionului.
C1 C2 C3 - Cele trei culori posibile ale ochilor.
.
Mersul logic ar fi următorul: Calculăm probabilitatea ca doar O1 O2 că aibă culoarea C1. Înmulțim cu trei (trei culori posibile) și aflăm probabilitatea ca doar O1 O2 că aibă aceeași culoare a ochilor (indiferent care). Apoi rezultatul îl înmulțim cu numărul de combinații posibile a două persoane din cinci, adică C52 = 10 (combinări de 5 luate câte 2) și s-ar zice că rezultă probabilitatea căutată.
.
Problema e că prin această abordare unele combinații posibile se iau în considerare de două ori; deci o parte din ele trebuie scăzute.
De exemplu: O1 O2 au C1 și O3 O4 au C2 în același timp.
În calculul matematic se pune la socoteală de două ori, o dată când analizăm O1 O2 au C1 și încă o dată când analizăm O3 O4 au C2.
În realitate, într-o statistică dacă întâlnim această combinație o socotim o singură dată (numărăm: O1 O2 au C1, constatăm că ceilalți trei nu au C1, îl trecem ca un caz favorabil și trecem mai departe).
Deci va trebui să eliminăm una din combinații. În lucrul cu probabilități asta se rezolvă împărțind la doi probabilitățile din cele două situații de analiză amintite mai sus.
.
Cazul 1 O1 O2 = C1 (probabilitatea PC1)
.
Probabilitatea: O1 O2 = C1 : P1 = 1/3 x 1/3 = 1/9
Probabilitatea: ceilalți trei diferit de C1 : P2 = (2/3)3 = 8/27
Probabilitatea: doar O1 O2 = C1 : P3 = P1 x P2 = 1/9 x 8/27 = 8/243
.
Acum, pentru cazul O1 O2 = C1 calculăm prob. P4 ca dintre O3 O4 O5 , doi să aibă aceeași culoare a ochilor din celelalte rămase (adică în afară de C1). Avem șase situații posibile (C32):
.
1.a) O3 O4 = C2 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O5 diferit de C2 : 2/3
Deci: P1a = 1/9 x 2/3 = 2/27
1.b) O3 O4 = C3 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O5 diferit de C3 : 2/3
Deci: P1b = 1/9 x 2/3 = 2/27
Prin urmare: P4.1 = P1a + P1b = 2/27 + 2/27 = 4/27
.
2.a) O3 O5 = C2 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O4 diferit de C2 : 2/3
Deci: P2a = 1/9 x 2/3 = 2/27
2.b) O3 O5 = C3 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O4 diferit de C3 : 2/3
Deci: P2b = 1/9 x 2/3 = 2/27
Prin urmare: P4.2 = P2a + P2b = 2/27 + 2/27 = 4/27
.
3.a) O4 O5 = C2 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O3 diferit de C2 : 2/3
Deci: P3a = 1/9 x 2/3 = 2/27
3.b) O4 O5 = C3 : 1/3 x 1/3 = 1/9
O3 diferit de C3 : 2/3
Deci: P3b = 1/9 x 2/3 = 2/27
Prin urmare: P4.3 = P3a + P3b = 2/27 + 2/27 = 4/27
.
Și atunci: P4 = P4.1 + P4.2 + P4.3 = 3 x 4/27 = 4/9
.
Pentru a elimina una dintre combinațiile care (după cum am arătat mai sus) se iau în considerare de două ori, împărțim P4 la doi, și obținem diferența ce trebuie scăzută din P3 :
Pdif = P4 / 2 = 2/9
Scădem această diferență și obținem PC1 adică prob. ca doar O1 O2 să aibă C1 :
.
PC1 = P3 - Pdif x P3 = 8/243 – 2/9 x 8/243 = 56/2187
.
Cazul 2 O1 O2 = C2 (PC2)
.
Urmând același calcul: PC2 = 56/2187
.
Cazul 3 O1 O2 = C3 (PC3)
.
La fel: PC3 = 56/2187
.
Deci probabilitatea ca doar O1 O2 că aibă aceeași culoare (indiferent care) este:
.
PO1 O2 final = PC1 + PC1 + PC3 = 56/729 = 0,077
.
Dar cum numărul de combinații posibile a două persoane din cinci este C52 = 10 , înseamnă că probabilitatea căutată este:
.
Pfinal = C52 x PO1 O2 final Pfinal = 0,77
.
Am făcut o scurtă verificare practică cu cinci zaruri (100 de încercări) și am obținut o probabilitate de 0,68. O diferență cam descurajatoare pentru a purcede la o încercare (mult mai complicată prin această abordare) de a rezolva problema cu zodiile.
Totuși s-ar putea ca un test cu 100 de încercări să nu fie suficient pentru a obține un rezultat semnificativ.
Sau, s-ar putea ca raționamentul meu să aibă pe undeva vreo „fractură de logică”. Este motivul pentru care am postat soluția: poate are cineva are răbdare și îmi confirmă sau îmi infirmă temerile, pentru a merge mai departe la rezolvarea problemei cu zodiile.