Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
363 vizualizari
Să se găsească punctul din interiorul unui patrulater oarecare pe care, unindu-l cu cele 4 colțuri, să rezulte 4 triunghiuri de arii egale.
a intrebat Novice (127 puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
Se stie ca mediana imparte un triunghi in 2 triunghiuri echivalente.Existenta unui punct P intr-un patrulater ar trebui sa faca ariile triunghiurilor lui PAB si PAC egale si asta inseamna ca P trebuie sa se afle pe mediana triunghiului ABC dusa din B.Deci P ar trebui sa se afle la intersectia celor 4 mediane  caz in care ar fi drepte concurente si practic ar trebui sa avem mijloacele celor 2 diagonale ca punctul de concurenta intrucat el este deja punct de intersectie ptr 2 mediane.In concluzie cele 2 diagonale se injumatatesc si deci existenta unui punct de acest gen poate fi numai in paralelogram la intersectia diagonalelor.
a raspuns Experimentat (2.3k puncte)
1 0
este neaparat,doar ca nu am mai demonstrat asta.Scriind ariile lui PAB si PBC ca fiind ABxPBxsin(PBA)/2 respectiv BCxPBxsin(PBC)/2 ar trebui din egalitate ca sin(PBA)/sin(PBC)=BC/AB acuma in triunghiul ABC daca ducem o ceviana BD si din teorema sinusurilor obtinem  sin(ABD)/sin(ADB)=AD/AB respectiv sin(DBC)/sin(BDC)=CD/BC.

tinand cont ca sin(ADB)=sin(BDC) obtinem sin(ABD)/sin(DBC)=BC/ABxAD/CD si cu conditia data ar trebui ca AD/CD=1 deci mediana
0 0
La fel de simplu era și cu baza X înălțimea. Inițial am interpretat greșit.
0 0
Mulțumesc pt. promptitudine. Eu cred că am găsit o soluție mai simpla. Am redus problema la o altă problema :intr-un unghi format de 2 segmente AB și BC ( care sunt și laturile patrulaterului din problema inițială) sa se găsească locul geometric al punctelor care unite cu A,B și C formează 2 triunghiuri cu arii egale. Am dus o paralelă la BC la o distanta egala cu BC și o alta paralela la AB la o distanta egala cu BC. Intersecția dintre paralele in punctul M o unesc cu punctul B și această dreapta e locul geometric cerut. Procedez similar în unghiul ADC din patrulaterul oarecare ABCD. intersecția dintre cele 2 drepte e punctul care împarte patrulaterul in 4 triunghiuri de arii egale. Nu mai demonstrez de ce. Nu știu cum să postez desenul și să scriu demonstrația..iar în "proza" mi-ar fi mai greu. Mulțumesc mult și pt. soluția la a cealaltă problema. De fapt aceea mă interesa.
0 0
Sunt convins că pt. d-voastra ( că și pt. f. multi de aici ) nu e nevoie de demonstrația celor scrise de mine..fiind aproape evident de ce acele drepte sunt locurile geometrice...
0 0
Nu am inteles demonstratia,parca ai construi un paralelogram ABCD cand A,B si C sunt deja,dar acele paralele duse la  distanta de BC nu imi este clar pe ce parte le duci etc.Eu personal nu am nici un dubiu in raspunsul meu ,mai ales ca afirmatia se sustine si acel loc geometric este exact dreapta determinata de mediana.O alta eroare este urmatorul rationament si anume obtii 2 arii egale si alte 2 egale nu implica ca toate 4 sunt egale.

O problema asemanatoare a fost acum multi ani la olimpiada etapa locala sau judet.
0 0
Reiau mai amănunțit. În patrulaterul oarecare notat ABCD caut locul geometric al punctelor din interiorul unghiului DAB care unite cu D,A și B formează 2 triunghiuri de arii egale. Punctele trebuie sa se afle la distante de DA și AB invers proporționale cu DA și AB, astfel încât orice punct P de pe aceasta dreapta d1 proiectat pe DA și AB in P' respectiv in P" să duca la situația ca DA • PP'=AB • PP" (arii egale. Pt. că PP' și PP" sa fie invers proporționale cu DA și AB am ales cele mai la îndemână 2 segmente PP'si PP" și anume PP'=AB și PP"=AD....Ducând o dreapta care să treacă prin P si A obținem o dreapta care îndeplinește condiția că toate punctele de pe ea unite cu D,A și B formează 2 triunghiuri cu arii egale. Repet toată povestea in unghiul DCB..Dreapta d2 astfel obținută se va intersecta cu d1 in singurul punct care unit cu A,B,C,D va împărți patrulaterul in 4 arii egale. Nu-s convins că m-am făcut înțeles. Mai riguros trebuia găsit încă un punct în afara de P pt a trasa dreapta d1 . Deci paralele de care scrisesem prima oara erau duse că sa găsesc punctul P..de fapt puteam duce paralele și la distante duble sau injumatatite (PP'=2AB și PP"=2AD..sau PP'=AB/2 si PP"=AD/2)..In ambele situații punctele obținute îndeplinesc acea condiție ca triunghiurile să aibă arii egale..prin asemănare..toate punctele P de pe dreapta d1 indeplinesc condiția ca DA • PP'/2 =AB • PP"/2.....(Am construit cu PP' =AB si PP'"=AD pt. a fi mai evident că AD •PP' =AB • PP"...DECI ARII EGALE )..INCA NU A F CONVINS CA AM FOST CLAR..DAR SUNT FERM CONVINS CA AM DREPTATE SI CA E MULT MAI SIMPLU DECAT PARE PRIN CELE SCRISE DE MINE.
0 0
As rămâne îndatorat dacă ați urmări pe un desen cele scrise de mine și dacă mi ați da un răspuns. De asemenea " simt " că aceasi metoda ar putea fi aplicată și în problema cealaltă, cu mijloacele laturilor...procedand similar în unghiurile formate din jumătăți de latura....
0 0
Referitor la ultimul comentariu aveți dreptate doar aici:
- orice punct de pe dreapta d1 formează cu D, A și B două triunghiuri de arii egale
- orice punct de pe dreapta d2 formează cu D, C și B două triunghiuri de arii egale
Ați tras concluzia eronată că toate cele 4 triunghiuri au ariile egale.
Punctul P de intersecție dintre d1 și d2 îndeplinește condițiile PAD = PAB și PDC = PBC dar nu satisface PAD = PAB = PDC = PBC.

Partea bună este că s-ar putea folosi ideea de a căuta un punct care să împartă patrulaterul în două perechi de triunghiuri de arii egale, astfel încât A1=A3 și A2=A4, adică triunghiurile opuse la vârf să aibă arii egale. Astfel reiese imediat încă o soluție la cealaltă problemă, mult mai dificilă de altfel.
0 0
ok dar exact asta am exlicat eu si mult mai simplu ca acesta dreapta care o construiti este dreapta determinata de mediana.Faceti un rationament daca punctele de pe mediana au aceasta propietate si locul geometric al acestor puncte va reiese ca fiind tot o dreapta atunci e evident ca e vorba de aceeasi dreapta.
0 0
Aveți dreptate.  Mulțumesc mult !

...