Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
376 vizualizari
Marcăm 13 puncte echidistante pe o circumferință.

Să se arate că, în orice submulțime de 5 puncte luate aleator din cele 13, există cel puțin 1 grup de 3 puncte care, unite, formează un triunghi isoscel.
a intrebat Senior (6.6k puncte) in categoria Matematica
0 0
Al naibii problemă.
0 0

As vrea sa comentez ceva la problema ,din pacate nu am reusit sa finalizez o idee de rezolvare .Nu caut scuze dar chiar nu am mai avut rabdare.

Ideea e urmatoare :Sa consideram cele 13 puncte notate cu A1 pana la A13 .alegerea a 5 dintre ele echivaleaza cu o partitie a numarului 13 in 5 parti unde partile sunt considerate numarul de arce formate dintre cele 2 puncte citite intr-un sens sa zicem al ceasului.De exemplu sa zicem ca am ales A2,A4,A7,A8 si A11. Daca citim de la A2 vom avea partitia lui 13 in 2+3+1+3+4 existenta unui triunghi isoscel echivaleaza cu existenta a 2 parti egale si vecine sau partitii vecine ale aceleasi intreg.De mentionat ca datorita rotatiei vecin este si parte din coada cu partea din cap.In acest caz avem 1+3 echivalent cu 4.Deci putem reinterpreta problema la una legata de partitii .Deci sa aratam ca orice partitie a numarului 13 in 5 parti intregi pozitive admite parti vecine egale incluzand ca zona vecina si coada cu capul sirului.

Numarul de partitii a lui 13 in parti in care conteaza si ordinea il aflam tot de pe cerc ,mai exact daca fixam un punct vedem ca el echivaleaza cu alegerea a 4 puncte din restul de 12 si deci este in total C^4_{12}

Acuma am incercat sa numar cate partitii sunt cu vecini egali sau parti egale cu ideea e ca ar trebui sa ne iasa la numarare egal cu numarul de partitii totale.Partea aceasta se dovedeste delicata,de exemplu cate partitii contin parti vecine egale.am considerat ca daca adunam partile egale ne duce la o partitie de 4 parti a lui  13 in care avem o parte numar par.dar orice partitie de 4 parti a lui 13 va avea o parte numar par,deci in concluzie numarul de parti in care 2 parti vecine sunt egale ar echivala cu numarul de partitii in 4 parti a lui 13 adica combineri de 12 luate cate 3.mai putem avea ca incazul exemplului anterior ca suma a 2 parti sa fie egala cu o valoare vecina si aici duce in o partitie de 3 dar nu chiar in mod echivalent si mai exista 2 cazuri suma de 3 sa fie gala cu un vecin sau suma a 2 parti sa fie egala cu suma a altor 2 parti vecine.Partea asta nu am finalizato si devine destul de complicata .

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

1. Cele cinci puncte aleatoare determină 5 arce de cerc care satisfac condiția AB+BC+CD+DE+EA = 13 (convenim că distanta dintre 2 puncte alăturate este 1). Observăm că mărimile acestor arcuri de cerc nu pot fi toate diferite între ele pentru că punând valorile minime obținem 1+2+3+4+5=15 > 13. Deducem că cel puțin două arce sunt egale și știind că arcele de cerc egale determină coarde egale, pentagonul aleator are cel puțin 2 laturi egale. Dacă ar avea 3 laturi egale, acestea trebuie distribuite la 5 vărfuri: o latură la două vârfuri , cealaltă la alte două vârfuri diferite și cea de-a treia, inevitabil, unește vârful liber cu unul din cele ocupate deja, ceea ce rezolvă problema (la fel și pentru 4 laturi egale).Rămâne de studiat cazul în care pentagonul are fix două laturi egale (pe desen AE=BC) care nu pleacă din același vârf. Egalitatea aceasta implică și egalitatea diagonalelor patrulaterului format de cele două laturi: BE=AC (subîntind arce egale).

2. O coardă poate avea una din 6 mărimi, cea mai mică corespunde arcului dintre două puncte alăturate și cea mai mare corespunde arcului de cerc de șase unități. Știind că un pentagon are 10 coarde ( C(5,2)=10 ), distribuirea acestor 10 segmente la 6 modele implică existența a 4 perechi de coarde identice sau faptul că o coardă sau mai multe apar de mai mult de două ori în pentagon. Ultimul aspect fiind discutat la (1) rămâne cazul când pentagonul are 4 perechi de coarde identice. Cum două perechi de coarde identice au fost descoperite mai sus, rămân de identificat celelate 2. Distingem 3 situații:
a. Alte două laturi ale pentagonului sunt egale. Este și cazul (întâmplător) desenului nostru: AB=CD (dar putea fi AB=DE, la fel se procedează). Ele trebuie să fie opuse (adică fără vârf comun) și diferite de primele două laturi egale. Diagonalele patrulaterului format vor fi și ele egale, iar una dintre ele este chiar o diagonală din cele două deja egale => avem 3 coarde egale (aici BD=AC, dar AC=BE => BE=BD) => triunghi isoscel). 
b. Alte două diagonale ale pentagonului (pe lângă BE=AC) care nu pleacă din același vârf sunt egale. Deși nu este cazul, să presupune pe desenul nostru că BD=CE, (analog pt. AD=CE) => BC=DE, dar BC=AE => AE=DE => triunghi isoscel.
c. Două diagonale (din cele 3 rămase pentru că două deja sunt egale între ele) sunt egale cu două laturi ale pentagonului. O astfel de diagonală nu trebuie să fie egală cu vreuna din cele 4 laturi care pleacă din cele două vârfuri ale sale CE. Daca una din cele două este cea are unește laturile deja egale (CE) obținem un paralelogram (ABCE), imposibil pentru configuratia celor 13 puncte.
Dacă una din cele două nu este cea are unește laturile deja egale (AD sau BD) => ea este egală cu una din cele două laturi egale (AD=BC=AE sau BD=AE=AC) => triunghi isoscel.
Pentru o altă configurație a celor 13 puncte, diferită de cea din desen, logica este aceeași, pe care o rezum: pentru ca un triunghi să fie isoscel trebuie ca dintr-un vârf să plece două coarde egale, se deduce pe baza analizei numărului și tipurilor de coarde că situația cea mai defavorabilă presupune 4 perechi de coarde egale și se analizează toate posibilitățile. 

a raspuns Experimentat (4.7k puncte)
selectat de
1 0
Admirabilă ambiția cu care ați vrut să tratați toate cazurile recurgând doar la analiza situațiilor geometrice, fără a recurge la descrieri numerice, care ar fi putut pleca de la observația inițială că lungimea unei corzi poate fi exprimată prin numărul de arce egale pe care le subîntinde.

Problema mi se pare frumoasă și mi-ar plăcea o soluți mai puțin muncitorească, pe care însă nu o văd. Felicitări!
1 plus 0 minusuri
Problema intradevar e data naibi de grea.Ideea a venit destul de greu am incercat principiul cutiilor dar nu functioneaza numarand triunghiurile posibile cele isoscele si cele oarecare cu observatia ca daca alegem 5 puncte nu numaram doar cofiguratia data de cele 5 puncte.Adica daca in cele 5 puncte nu am avea triunghiuri isoscele atunci atunci si rotatiile pe unghi egal cu arcul implica inca 12 configuratii diferite pentru cele 12 rotatii posibile  care nu vor determina triunghiuri isoscele,dar nu elimina suficient.

Astfel am abordat altfel problema deoarece intradevar se intrevedea o solutie de modul tratari cazurilor precum ceea a lui Gheorghita dar din pacate nu e si ceea mai placuta .

Demonstratie:

Voi arata ca nu pot gasi 5 puncte astfel incat sa nu avem triunghi isoscel.Alegem arbitrar 2 puncte ,fie A si B in sensul ceasului ,impreuna cu segmentul AB exista 3 puncte care nu pot fi alese din restul ramas si anume  mijlocul arcului AB mare sau mic(doar unul din arce admite mijloc unul din cele 13 puncte si anume cel cu numar par de arce determinate de puncte consecutive) si mai sunt 2 puncte unul din stanga si altun in dreapta pe circumferinta la lungime egala de arce.

Ne ramane posibilitatea sa alegem acum un punct din o multime de 8 puncte admisibile,fie C al treilea punct .Segmentele AC si BC elimina si ele fiecare cate 3 puncte cele care nu pot fi alese si vom arata ca ele sunt distincte .

E suficient sa arat ca AC si AB elimina puncte diferite .Cele din stanga si din dreapta au aceeasi lungime cu arcele AC respectiv AB si daca ar fi un punct comun ar insemna ca acel punct cu A determina un arc de lungime egala si cu AC si cu AB absurd deoarece AC si AB nu sunt egale iar mijlocul arcelor asemenator ca idee ar insemna distanta la A si mijloc sa fie agala ceea ce implica AC egal cu AB contradictie.Astfel avem 3 puncte alese A,B si C si nu pot sa aleg 9 puncte care inseamna un total de 12 deci mai ramane doar un punct care pot alege dar am ales numai 4 si automat pentru cel de al cincelea numai am nici o posibilitate.Deci in concluziea in orice submultime de 5 exista un triunghi isoscel.
a raspuns Experimentat (2.3k puncte)
1 0
Cele 3 puncte eliminate de fiecare latură nu sunt distincte. Dacă aplicați algoritmul de eliminare pentru laturile AB, BC și AC pe figura celuilalt răspuns se elimină 7 puncte și nu 9 (2 suprapuneri), rămânând 3 puncte disponibile pentru formarea pentagonului.
1 0
Ai dreptate am omis ceva.

...