Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,357 intrebari

6,563 raspunsuri

15,040 comentarii

2,132 utilizatori

Sistem de ecuaţii - olimpiadă

2 plusuri 0 minusuri
415 vizualizari

Dat fiind sistemul de ecuaţii

x2y + 2 = x + 2yz
y2z + 2 = y + 2zx
z2x + 2 = z + 2xy

Aflaţi variabilele.

Mulţumesc anticipat!

a intrebat Vlad Novice (303 puncte) Sep 27 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri

Intradevar este un sistem de olimpiada ce necesita clasa a 11 finalizata.

Sa scriem sistemul sub alta forma.

\left\{\begin{matrix} x^2y-x=2yz-2 \\ y^2z-y=2zx-2 \\ z^2x-z=2xy-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x(xy-1)=2(yz-1) \\ y(yz-1)=2(zx-1) \\ z(zx-1)=2(xy-1) \end{matrix}\right.

Acuma apare o discutie pentru cazurile in care factori respectivi sunt nuli.Sa observam ca nu putem avea x,y sau z nuli.Daca x=0 din prima relatie obtinem yz=1 si in a doua relatie vom obtine 0=-2 deci absurd.La fel si pentru y sau z egali cu 0 .Daca xy-1=0 vom obtine din prima relatie yz-1=0 si din a doua zx-1=0 si verifica si a treia ecuatie.Adica obtinem un sistem simplu xy=yz=xz=1 cu solutiile x=y=z=1 sau -1.Sa presupunem acma ca acei factori sunt diferiti de 0 adica xy,xz si yz diferiti de 1.inmultim cele 3 ecuatii si dupa simplificare obtinem xyz=8.In acest caz vom transforma ecuatiile astfel:

\left\{\begin{matrix} x^2y+2=x+2yz|*x\\ y^2z+2=y+2zx |*y\\ z^2x+2=z+2xy |*z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3y+2x=x^2+16\\ y^3z+2y=y^2+16\\ z^3x+2z=z^2+16 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2-2x+16}{x^3} \\ z=\frac{y^2-2y+16}{y^3} \\ x=\frac{z^2-2z+16}{z^3} \end{matrix}\right.Sa consideram functia 

f(t)=\frac{t^2-2t+16}{t^3} 

avem derivata f'(t)=-\frac{t^2-4t+48}{t^4}<0 deoarece delta numaratorului e negativ.Deci f este descrescatoare.

Deci avem y=f(x),z=f(y),x=f(z).

Daca x>y atunci f(x)<f(y) adica y<z de unde f(y)>f(z) adica z>x de unde f(z)<f(x) adica x<y contradictie.Deci x=y adica f(x)=f(z) deci x=z in concluzie x=y=z si cum xyz=8 mai obtinem solutia x=y=z=2.

a raspuns zec Experimentat (2,043 puncte) Sep 29
Alaturi de 2 ar mai fi doua radacini complexe de ordinul 3 ale lui 8. Pot fi acceptate? (nu se precizase multimea solutiilor)
Ele sunt intradevar ,dar derivata e pentru numere reale si in numere complexe e posibil sa mai aiba si alte solutii.Exista si notiunea de derivata la functii complexe dar e alta poveste.
Mulţumesc mult!
@zec: Bune precizări. Cazul x=y=z=t merge și rezolvând o ecuație de grd. 3 în t. Dificultatea era de arătat că variabilele nu pot fi diferite. Felicitări!
0 plusuri 0 minusuri
La o aruncare de privire, x=y=z=1. Nu am incercat sa rezolv ecuatiile, ci am obtinut solutia prin incercari...
a raspuns HanSolo Junior (467 puncte) Oct 2

...