Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,297 intrebari

6,467 raspunsuri

15,026 comentarii

2,093 utilizatori

10 numere secrete

2 plusuri 0 minusuri
637 vizualizari

O persoană alege 10 numere naturale secrete a1, a2,..., a10, numere pe care trebuie să le aflăm punându-i întrebări de tipul "cât este suma k1a1+k2a2+...+k10a10", ki fiind numere naturale alese de noi. Care este numărul minim de întrebări pe care trebuie să le punem pentru a afla cele 10 numere și care sunt aceste întrebări?

a intrebat Gheorghiţa Experimentat (4,055 puncte) Iul 22 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Merge totusi din 2 intrebari sa afli apeland la baza de numeratie.

Prima intrebare o facem sa evaluam putin numerele si poate sa fie simplu suma lor.Sa zicem ca suma este S putem alege o baza de numeratie S

si punem coeficienti k pentru a doua intrebare ca fiind puteri de ale lui S adica k_1=S^0=1,k_2=S^1=S,k_3=S^2...k_{10}=S^9

valoarea sumei respective este trecerea numarului 

\overline{a_{10}a_9...a_1}_{(S)}  din baza S in baza 10 si pentru identificarea numerelor se va trece suma a doua in baza S.

a raspuns zec Experimentat (1,997 puncte) Iul 26
selectat de Gheorghiţa Iul 26

Valoarea lui S e nerelevantă. Puteți să-i cereți să înmulțească ai cu puterile lui 11 de la 119 până la 110 și apoi să transformați suma primită în baza 11, deci merge de fapt cu o singură întrebare. Am ales baza 11 pentru că e cea mai mică peste 10, dar iese la fel cu orice bază de numerație. Asta dacă vrem să transformăm dintr-o bază în alta, ceea ce nu e obligatoriu.

Putem să-i cerem să înmulțească ai cu puterile lui 10 de la 109 până la 100, suma primită dându-ne în acest caz direct numerele secrete. Important e că le aflăm dintr-o singură întrebare.

Dimpotrivă, valoarea lui S este esențială: S trebuie să fie mai mare decât oricare ai, altfel expresia pe care o întrebăm nu ar reprezenta desfășurarea unui număr într-o bază de numerație. Cred că ați considerat ai ca fiind mai mici decât 10 (nu apare așa ceva în enunț), ceea ce ar explica și exemplul cu puterile lui 10. Pentru a renunța la o bază de numerație putem întreba cu expresia 100a1+10na2+102na3+...+109na10 cu n determinat ca 10> S, dar tot după ce aflăm S, adică două întrebări.

Așa e, am plecat de la ideea că ai au câte o cifră. Când am citit enunțul am văzut probabil ce voiam eu să scrie, nu ce scria de fapt. Într-adevăr, S e esențial și trebuie două întrebări. Scuze.

0 plusuri 0 minusuri
in mod necesar avem nevoie de 10 intrebari deoarece 10 intrebari inseamna 10 ecuatii liniare in 10 necunoscute ceea ce formeaza un sistem cu solutie unica daca punem intrebarile astfel incat sa avem matricea sistemului inversabila..Intrebarea grea este daca e si suficient 10 intrebari,fiind in numere naturale ar fi posibil sa afli solutii dar ele sunt unice doar daca au o valoare minimala.De exemplu daca prima intrebare ar fi suma lor si raspunsul e 10 e suficienta doar intrebarea asta neavand decat cazul in care numerele sunt egale cu 1,deci aceste cazuri particulare trebuiesc excluse iar in cazul a 9 intrebari ea va implica o ecuatie cu 2 necunoscute in numere intregi care poate avea in afara de solutia existenta si alte posibile solutii.

 un exemplu de intrebari este sa alegem

la prima intrebare alegem coeficientii (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)

La 2 (2,1,1,1,1,1,1,1,1,1)

LA 3 (1,2,1,1,1,1,1,1,1,1)

..........

LA 10 (1,1,1,1,1,1,1,1,2,1)

E un exemplu.
a raspuns zec Experimentat (1,997 puncte) Iul 26
Cu certitudine numărul minim de întrebări este mai mic decât 10, altfel nu prea avea rost întrebarea.
e clar cu divizibilitate:D

...