Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,297 intrebari

6,467 raspunsuri

15,026 comentarii

2,093 utilizatori

O mulțime de 1

2 plusuri 0 minusuri
209 vizualizari
Să se arate că există un număr divizibil cu 2017 avănd fiecare cifră egală cu 1.
a intrebat Gheorghiţa Experimentat (4,055 puncte) Iul 22 in categoria Matematica

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Am sa arat pentru un p numar prim diferit de 2 si 5 exista un multiplu de p format doar din cifre de 1.

metoda 1.

Fie sirul 1,11,111,....

cum resturile la impartirea cu p sunt doar p valori posibile,e suficient sa consideram din sirul respectiv doar primi p+1 termeni si conform principiul cutiilor exista 2 termeni in sir care au acelasi rest sa zicem ca termeni din sir sunt de rang i si j unde i<j.Scazand cei doi termeni vom obtine un numar de forma 

11...100...0 unde 1 apare de j-i ori si 0 de i ori rezulta ca p divide produsul 11...1x100..0  de unde p divide un numar format doar din cifre de 1 in numar de j-i ori

metoda 2

Din mica teorema a lui fermat avem p|10p-1-1=99..9  cu p-1 de 9 daca p e diferit de 3 rezulta ca p divide 11...1 de p-1 ori.Pentru p=3 avem 111 care respecta cerinta.

metoda 3

fie fractia 1/p aceasta fractie e periodica simpla deci fractia 1/p=N/99...9 deci p divide 99...9 si daca p e diferit de 3 rezulta ca p divide un numar de forma 11...1.

a raspuns zec Experimentat (1,997 puncte) Iul 22
selectat de Gheorghiţa Iul 26
Cred că numărul p nu trebuie să fie neapărat prim, ci doar relativ prim cu 10 și în loc de 1 se poate pune orice altă cifră. Felicitări.

...