Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,283 intrebari

6,452 raspunsuri

15,019 comentarii

2,051 utilizatori

Tehnica numerelor

4 plusuri 0 minusuri
343 vizualizari

Fie (a_n)_{n\geq 1} un sir crescator de numere naturale.Definim  b_m pentru orice m\in \mathbb{N}^* ca fiind cel mai mic n pentru care a_n\geq m.Sa se determine valoarea maxima pe care o poate avea suma 

a_1+a_2+...+a_{19}+b_1+b_2+....+b_{85}

daca a_{19}=85

a intrebat zec Experimentat (1,961 puncte) Iun 23 in categoria Matematica

1 Raspuns

5 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Șirul \small b_{m} se poate scrie mai sugestiv: \small b_{1},...,b_{a_{1}},b_{a_{1}+1},...,b_{a_{2}},b_{a_{2}+1},...,b_{a_{18}},b_{a_{18}+1},...,b_{a_{19}}
Conform definiției șirului \small b_{m}
\small b_{1}=b_{2}=...=b_{a_{1}}=1

\small b_{a_{1}+1}=b_{a_{1}+2}=...=b_{a_{2}}=2

\small b_{a_{k}+1}=b_{a_{k}+2}=...=b_{a_{k+1}}=k+1

\small b_{a_{18}+1}=b_{a_{18}+2}=...=b_{a_{19}}=19

În cuvinte, în șirul \small b_{m} avem \small a_{1} termeni egali cu 1, \small (a_{2}-a_{1}) termeni egali cu 2, până la \small (a_{19}-a_{18}) termeni egali cu 19. Suma membrilor \small b_{m} se scrie: \small b_{1}+...+b_{85}=1a_{1}+2(a_{2}-a1)+...+19(a_{19}-a_{18})=19a_{19}-(a_{1}+...+a_{18})

Suma solicitată devine:

\small (a_{1}+...+a_{19})+(b_{1}+...+b_{85})=(a_{1}+...+a_{19})+19a_{19}-(a_{1}+...a_{18})=20a_{19}=1700Suma este constantă și înseamnă oare că am înțeles eu greșit enunțul? Sau expresia "valoare maximă" are rol diversionist? 

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,052 puncte) Iun 24
selectat de zec Iun 24
Sa spun sincer nu rezolvasem problema ,dar am intalnito intr-o veche gazeta matematica fiind o problema propuse la olimpiada USA si am tinut sa o propun pe Q&A fiind una din problemele care parea interesanta.Modul in care ai solutionat e perfect si foarte bine prezentat.Felicitari!!!

Și eu am obținut tot 1700, pe o cale foarte rapidă. Am maximizat termenii șirului an, de la 67 la 85, din definiția lui bn rezultând că acesta are valorile b85 = 19, b84 = 18, ... , b67 = 1, b66 = b65 =...=b1 =1, pe care, însumându-le cu valorile lui an de la 67 la 85, obținem 1700.

Plecând de la maximizarea lui an, eram convins că am obținut o valoare maximă. Cu atât mai interesant a fost să constat că soluția dvs., care analizează lucrurile într-o formă generalizată, conduce la concluzia surprinzătoare că rezultatul final depinde  doar de a19

Așa că nu-mi rămâne decât să strig un sincer BRAVO de la galerie :)

Am făcut și eu o dublă verificare după depistarea soluției, una cu maximizarea (deși maximizarea lui an nu înseamnă și maximizarea cerută) și una aproape la întâmplare. Asta ca să-mi înlătur dubiile. Mai greu a fost să înțeleg problema în sine, fiind puțin derutată de termenii șirului și indicii acestora. Mulțumesc pentru exprimările apreciative.

...