Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,272 intrebari

6,443 raspunsuri

14,998 comentarii

2,034 utilizatori

Rădăcini, dar și coeficienți.

2 plusuri 0 minusuri
123 vizualizari

1.Sa se determine un polinom de grad 2 unitar cu coeficienti intregi

f=x^2+px+q care admite radacini pe p si q ,unde q este nenul.

2.Pentru ce valori n>=1 exista numerele intregi

a_1,a_2,....a_n(a_n\neq 0) astfel incat sunt radacini ale polinomului

f=x^n+a_1x^{n-1}+....+a_n

a intrebat zec Experimentat (1,862 puncte) Iun 15 in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Continui de la observația lui Puiu: \small \prod_{k=1}^{n}a_{k}=(-1)^{n}a_{n}\Rightarrow a_{1}...a_{n-1}=(-1)^{n}\Rightarrow a_{1},a_{2},...,a_{n-1}=+/-1

Din relațiile lui Viete le reținem pe primele două:

\small \sum_{k=1}^{n}a_{k}=-a_{1}= +/-1;\sum_{1\leq i\leq j}^{n}a_{i}a_{j}=a_{2}=+/-1

\small (\sum_{k=1}^{n}a_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{1}^{n}a_{i}a_{j}\Rightarrow 1=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n-1}^{2}+a_{n}^{2})+2\sum_{1}^{n}a_{i}a_{j}

\small 1= n-1+a_{n}^{2}+/-2\R.

Obținem an2 +n =0 (imposibil) sau an2 +n -4 =0 => n=4-an2. Cum an nu poate fi zero, valoarea maximă a lui n este 3.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (3,952 puncte) Iun 16
selectat de zec Iun 16
Splendid! Felicitări!
Foarte frumos ,dar o treaba buna a realizat si Puiu dar partial si pe care o apreciez dar practic Gheorghita a raspuns la punctul 2
1 plus 0 minusuri

Dacă p și q sunt soluții ale ecuației f(x) = 0, putem scrie

f = x2 + px + q = (x - p)(x - q) = x2 - (p + q)x + pq.

Egalând coeficienții puterilor egale între membrul 1 și membrul 3,   rezultă  p = - (p +q) => 2p = - q  (1) 

și q = pq  => p = 1  (2).  Înlocuind (2) în (1) rezultă q = - 2,  soluții 

care determină polinomul f = x2 + x - 2, cu rădăcini x1 = 1 și x2 = -2. 

Puteam să nu calculez relațiile dintre rădăcini și coeficienți și să invoc direct relațiile lui Viete, dar pentru un polinom de gr. II e simplu de calculat și util de reamintit.

2.Pentru n = 1 avem f = x + a1 cu rădăcina x = - a1.

Pentru n > 2, aplicând relația lui Viete pentru produsul tuturor rădăcinilor la forma dată a lui f (cu coeficientul lui xn egal cu 1), rezultă a1*a2*...*an = (-1)nan, de unde

a1*a2*...*a(n-1) = (- 1)n, ceea ce, evident, nu poate fi adevărat dacă toate valorile a1, a2,..., a(n-1) sunt întregi.

Prin urmare, doar pentru n = 2 se pot îndeolini condițiile din enunț.

a raspuns Puiu Senior (6,079 puncte) Iun 16

Dar polinomul f = x3+x2-x-1 = (x+1)2(x-1) nu îndeplinește condițiile?

Ba da, doar că eu am presupus rădăcinile distincte. Cred că aveți dreptate, iar eu m-am cam grăbit.

De fapt, coeficienții pot avea toți valori de +/- 1, cu respectarea condiției ca a1*a2*...*a(n-1) = (- 1)n. Sunt singurele valori posibile, niciun coeficient neputând fi nul din condiția an diferit de zero.

...