Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
332 vizualizari

a\cdot sin\frac{B}{2}+b\cdot sin\frac{C}{2}+c\cdot sin\frac{A}{2}\leq p, notațiile fiind cele cunoscute (a,b,c - lungimile laturilor triunghiului, A,B,C - măsurile unghiurilor, p - semiperimetrul).

Am ezitat să o aduc în atenție, nefiind sigur dacă e adevărată, dar cineva ar fi testat-o cu un program.

a intrebat Junior (970 puncte) in categoria Matematica
0 0
Pot sa zic ca sub alta forma se demonstra usor ,mai exact daca era

axsin(C/2)+bxsin(B/2)+cxsin(A/2)<=p

Se foloseste inegalitatea Cebisev considerand a<=b<=c care implica sin(C/2)>=sin(B/2)>=sin(A/2) si Jensen pentru functia sinus care e concava si obtinem sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)<=3/2.

O idee pe care am incercato dar nu am reusit sa o finalizez este pe folosirea substitutiilor lui Ravi adica a=x+y b=x+z si c=y+z unde x,y,z >0 se arata usor ca a,b,c sunt laturile unui triunghi daca si numai daca exista x,y,z astfel incat sa avem relatiile respective.

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

In final am reusit sa o demonstrez.

Folosim substitutiile lui Ravi 

a=x+y;b=x+z;c=y+z

astfel folosind si formulele pentru 

sin(\frac{A}{2})=\sqrt \frac{(p-b)(p-c)}{bc}; sin(\frac{B}{2})=\sqrt \frac{(p-a)(p-c)}{ac}; sin(\frac{C}{2})=\sqrt \frac{(p-a)(p-b)}{ab}

si cu substitutii vom avea:

p=x+y+z;p-a=z;p-b=y;p-c=x

de unde  sin(\frac{A}{2})=\sqrt\frac{xy}{(x+z)(y+z)} ; sin(\frac{B}{2})=\sqrt\frac{xz}{(x+y)(y+z)} ; sin(\frac{C}{2})=\sqrt\frac{yz}{(x+y)(x+z)} ;inlocuim in inegalitate si dupa o usoara simplificare vom obtine urmatoarea inegalitate:

\sqrt\frac{xz(x+y)}{y+z}+\sqrt\frac{yz(x+z)}{x+y}+\sqrt\frac{xy(y+z)}{x+z}\leq x+y+z

Relatie pe care o voi scrie astfel:

\sqrt\frac{x}{y+z}\sqrt{z(x+y)}+\sqrt\frac{z}{x+y}\sqrt{y(x+z)}+\sqrt\frac{y}{x+z}\sqrt{x(y+z)}\leq x+y+zPutem presupune:

x\leq y\leq z

De unde vom avea ordonarea care se arata usor:

\frac{x}{y+z}\leq \frac{y}{x+z}\leq \frac{z}{x+y}; x(y+z)\leq y(x+z)\leq z(x+y)

De unde vom avea si radicali la fel .

Daca consideram 

S=a_1b_{\sigma(1)}+a_2b_{\sigma(2)}+a_3b_{\sigma(3)}\leq a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=S_{max}unde (a_1,a_2,a_3) ;(b_1,b_2,b_3) au aceasi ordonare.

in concluzie avem:

\sqrt\frac{x}{y+z}\sqrt{z(x+y)}+\sqrt\frac{z}{x+y}\sqrt{y(x+z)}+\sqrt\frac{y}{x+z}\sqrt{x(y+z)}\leq \sqrt\frac{x}{y+z}\sqrt{x(y+z)}+ \sqrt\frac{y}{x+z}\sqrt{y(x+z)}+\sqrt\frac{z}{x+y}\sqrt{z(x+y)} =x+y+z

a raspuns Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0
Afurisită inegalitate, dar ați dovedit-o frumos.
0 0
Foarte frumos. Nu mai auzisem de aceste substitutii si nici n-am gasit timp in aceste zile sa incerc ceva. Felicitari!
0 0

inegalitatea e una destul de tare,in sensul ca nu prea iese cu alta majorare.Cel putin mie nu mi-a mers,la un moment am crezut ca nu e adevarata,pur si simplu se bloca in incercari cu inegalitatea Holder pur si simplu descoperita recent datorita lui Gheorghita.Dupa ce am simulat pe un tabel de calcul mi am dat seama ca ar fi adevarata si am remarcat ca relatia dupa substitutii e omogena  si puteam sa consider x+y+z=1.am considerat ca y=z si am vrut sa vad ce iese,evident ca mia iesit (3x-1)2>=0 adica adevarat cu egalitate cand x=y=z=1/3.LA un moment am crezut ca am rezolvato si m-am apucat sa scriu raspunsul,dar era o greseala folosisem inegalitatea mediilor in sens gresit, dar din cauza ca am remarcat simplificarile tot atunci mi am dat seama si cum sa corectez.Intradevar afurisita inegalitate .

0 plusuri 0 minusuri

Daca ne  folosim de faptul ca avand 2 cortegii de numere astfel incat

a_{1}\geq a_{2}...\geq a_{n} ; b_{1}\geq b_{2}...\geq b_{n};

si desemnam o suma  S=a_{1}b_{i_{1}}\geq a_{2}b_{i_{2}}...\geq a_{n}b_{i_{n}}

unde (i_{1},...i_{n}) este o permutare a nr.1,2...n, atunci

Smax=a_{1}b_{1}}\geq a_{2}b_{2}...\geq a_{n}b_{n}}

In cazul nostru avem

a\geq b\geq c , A\geq B\geq C, deci \frac{\pi }{2}\geq \frac{A}{2}\geq \frac{B}{2}\geq \frac{C}{2} ,  ceea ce implica

\sin \frac{A}{2}\geq \sin \frac{B}{2}\geq \sin \frac{C}{2},   rezulta,

Smax=a\sin \frac{A}{2}+b\sin \frac{B}{2}+c\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )\left (\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \right )\leq\frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )\times 3\sin \ \frac{A+B+C}{6}= \left ( a+b+c \right )\sin \frac{\pi }{6}=2p\times \frac{1}{2}= pToate celelalte sume ce se pot forma, deci inclusiv suma propusa vor fi mai mici decat Smax , deci mai mici decat p.

a raspuns Novice (335 puncte)
0 0

Ați inversat sensul inegalității lui Cebâșev, corect este :\small S_{max}\geq \frac{a+b+c}{3}(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})

Restul este bine.

0 0
Cam asta ziceam eu in comentariul meu ,ca o alta forma cu referinta la permutare ar fi rezolvat usor problema.

...