Avem 500 de probleme simple, în una singură care pare complicată (cel puțin, așa mi-a părut mie până mi-a picat fisa).
Problema 1. Avem 1000 capete de fire. Luăm un capăt la întâmplare și avem la dispoziție 999 de capete libere ca să-l legăm de unu din ele, tot la întâmplare (nu-l putem lega de el însuși). Probabilitatea să facem o buclă, evident, e 1/999.
După ce am făcut nodul, ne rămân 499 de fire și 998 de capete. Asta, indiferent dacă am făcut o buclă, astfel că un fir și două capete au devenit indisponibile, sau nu, și atunci două fire au devenit un fir mai lung iar două capete au dispărut prin înnodare.
Problema 2. Avem 998 capete de fire. Luăm un capăt la întâmplare și avem la dispoziție 997 de capete libere ca să-l legăm de unul din ele, tot la întâmplare. Probabilitatea să facem o buclă, evident, e 1/997.
La fel ca la Problema1., am mai pierdut un fir și două capete, adică două fire au devenit fie un fir mai lung și două capete au dispărul prin înnodare dacă nu s-a întâmplat să se formeze o buclă, ori, un fir și două capete au devenit indisponibile dacă am picat pe cazul favorabil adică s-a făcut buclă.
Problema 3. Avem 996 capete de fire. Luăm un capăt la întâmplare și avem la dispoziție 995 de capete libere ca să-l legăm de unul din ele, tot la întâmplare. Probabilitatea să facem o buclă, evident, e 1/995.
Seamănă problemele, nu? Ca și în cazurile anterioare, am mai pierdut un fir și două capete.
N-o mai lungesc. Tot pierzând câte două capete și un fir la fiecare nod, ajungem la problema 500:
Problema 500. Avem două capete de fire. Luăm un capăt la întâmplare și avem la dispoziție un capăt liber de care să-l legăm, tot la întâmplare.
Povestea Niels Bohr că un copil s-a dus cu o firfirea la băcan și a cerut bomboane amestecate, de mai multe feluri. Băcanul îi răspunde: De banii ăștia primești două bomboane. De amestecat le amesteci singur.
Lăsând bancurile, la Problema 500 probabilitatea, evident, e 1.
Punând la loc cele 500 de probleme într-una singură, deoarece ele sunt complet distincte și independente, pentru a calcula Așteptarea cerută A, nu avem decât să adunăm probabilitățile rezultate. Astfel,
A = 1/999 + 1/997 + 1/995 +...+ 1/5 + 1/3 + 1.
Cu ajutorul lui WolframAlpha aflăm că asta face 4,089.
Dar dacă nu aveam Wolfram Alpha?
Păi atunci aproximam sum(de la i=1 la i=500)din 1/(2i-1), cu integrală(de la 1 la 500) din 1/(2x-1) dx, că e ușoară. Știm că avem voie, de la unul din testele de divergență a seriei armonice. Substituim 2x-1 = u, dx devine du/2, iar primitiva oricărei funcții de forma 1/u e ln(u).
Calculând, ne iese că A = 0.5ln999 = 3,453. Cam mică față de Wolfram!
Dar îmbunătățim aproximația, prin adăugarea constantei Euler-Mascheroni, egală cu 0,577 cu aproximație. Obținem un încurajator 4,03.
Oricum, nu contează. Cum nu putem avea fracțiuni, mă aștept la 4 bucle.