solutie vectoriala.
Sa scriem vectorii AS si CT in functie de vectorii dati de laturile triunghiului si lungimile lor pe care le vom nota clasic cu a,b,c.
O sa ma bazez pe ideea de vector de pozitie si urmatoarea propietate .
A ,X si B coliniari daca exista k=AX/XB atunci scriind se obtine ca vectorul
OX=k/k+1* OB+1/k+1*OA. Aceste relatii sunt vectoriale
Stim din teorema bisectoarei ca BS/SC=c/b
si considerand k=c/a si calculam AS in functie de AB si AC si cel k obtinem dar un pic modificata fata de relatia data cu A,X si B
adica (k+1)AS=AB+c/b*AC si inmultind cu b apare relatia (b+c)AS=bAB+cAC (1)
Acum sa calculam CT am sa o fac in triunghiul ACM unde M este mijlocul lui BC.
Din Thales la paralela TS in triunghiul ACM obtinem MT/AT=MS/CS
Sa prelucram raportul MS/CS
Tot din teroema bisectoarei prelucrand putin cu proportii derivate de preferabil adunand numitorul la numarator obtinem CS=ab/b+c
Astfel avem MS/CS=(a/2-ab/b+c)/(ab/b+c)=(c-b)/2b.
Deci (k+1)CT=CM+kCA=CB/2+(c-b)/2b*CA inmultim cu 2b relatia si obtinem 2b(k+1)CT=bCB+(c-b)CA (2)
Daca (1) inmultit cu (2) face zero rezulta perpendiculare.Pentru ca scalarii nu influenteaza am preferat sa scriu cat mai simplificat, de aceea nu ma intereseaza prea mult scalarii din fata lui AS si CT.
Inmultind obtinem (bAB+cAC)(bCB+(b+c)CA)=b2 AB*CB+b(c-b)AB*CA+bcAC*CB+c(c-b)AC*CA=
=b2ca(cosB)+b2(b+c)c(-cosA)+b2ca(-cosC)+c(b+c)b2(-1)
Pentru ca in aproape toate sumele apare -b2c am sa il dau factor comun si renunt la el.Motivul pentru care apare -cosB este faptul ca unghiul care il fac acei 2 vectori este unghiul exterior si suplementul are cosinus negativ.Astfel obtinem:
=-acosB+(c-b)cosA+acosC+(c-b)
si inlocuind cosinurile din teroema cosinusului obtinem
=-a(a2+c2-b2)/2ac +(c-b)(b2+c2-a2)/2bc +a(a2+b2-c2)/2ab+(c-b)
Simplificand si aducand la acelasi numitor avem
=[-b(a2+c2-b2)+(c-b)(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)+2bc(c-b)]/2bc
Care dupa ce se desfac parantezele se remarca imediat ca face 0.
Solutia a fost editata aducand corecturile necesare ,din cauza ca sunt calcule destul de incalcite e chiar foarte usor sa te incurci in ele.