Dacă una din laturile egale cu unitatea ale patrulaterului (notat ABCD) este AB putem vedea posibila dispunere a celorlalte două vârfuri (C și D) în construcția din figură, unde cele două cercuri au razele egale cu AB și centrele în A, respectiv B. Cum diagonala AC și latura AD sunt cel mult 1, punctele C și D se vor găsi în interiorul cercului cu centrul în A sau pe circumferința sa. Cum diagonala BD și latura BC sunt cel mult 1, punctele C și D se vor găsi în interiorul cercului cu centrul în B sau pe circumferința sa. Din ultimele două afirmații rezultă că D și C nu se pot afla decăt în zona comună, colorată gri, mai exact pe arcele de cerc care o mărginesc (ca perimetrul patrulaterului să fie cât mai mare). În ipoteză avem că patrulaterul mai are o latură egală cu 1, dar putem arăta că aceasta nu poate fi CD (oricum ar fi plasată, ar exista în zona gri o rază a unuia din cercuri, paralelă cu ea, și se poate arăta că această rază este mai mare). Prin urmare cealaltă latură de lungime 1 este una adiacentă cu AB și presupunem că aceasta ar fi BC. Atunci C trebuie să se afle pe arcul de cerc care mărginește zona gri și are centrul în B, însă, evident, perimetrul maxim al patrulaterului se va obține dacă punctul C se găsește tocmai la intersecția celor două cercuri (laturile CD și DA ar avea, în acest caz, lungimi mai mari).
Desenul este aici: http://imgur.com/vclrbOT
Punctul D se va afla undeva pe arcul mic AC. Am notat cu x măsura unghiului ABD. Unghiul DBC va avea măsura 600-x (triunghiul ABC este echilateral). Acum avem: AB=1, BC=1, CD=2r*sin((600-x)/2)=2sin((600-x)/2), DA=2r*sin(x/2)=2sin(x/2). Perimetrul patrulaterului, p(x)=2+2sin(x/2)+2sin((600-x)/2). Maximul lui p(x) (privind p ca funcție definită pe [00, 600] având expresia de mai înainte) se realizează pentru x=300 (rădăcină a derivatei lui p) și obținem pmax=2+4sin150, care se poate calcula.