Presupun că suprafața plană acoperită de triunghiuri este finită și că triunghiurile care o acoperă sînt în număr finit (cu un număr infinit de triunghiuri poți acoperi o suprafață de orice formă, de exemplu un cerc). Aceleași condiții presupun că sînt valabile și pentru orice încercare de a acoperi suprafața dată cu pătrate, pentagoane și hexagoane.
În aceste condiții mă uit la perimetrul suprafeței date, care se compune din laturi ale unora dintre triunghiuri. Cum acestea acoperă suprafața complet și fără să se suprapună între ele, segmentele din care se compune perimetrul pot avea numai trei orientări, care fac 60° între ele. (Dacă suprafața dată este se compune din două sau mai multe bucăți care nu au în comun decît cel mult un punct, concluzia cu cele trei orientări posibile este valabilă separat pe fiecare bucată.)
Asta înseamnă că aceeași suprafață nu poate fi acoperită cu pătrate și pentagoane, pentru că astfel de figuri nu se pot așeza în așa fel încît perimetrul să se compună din segmente cu orientări care fac 60° între ele. Nu există nici o configurație de triunghiuri echilaterale juxtapuse care să poată fi acoperită complet și fără suprapuneri cu pătrate sau pentagoane regulate.
În schimb, în funcție de forma concretă a suprafeței, există cazuri în care suprafața dată să se poată acoperi cu hexagoane regulate, pentru că orientările laturilor hexagoanelor respectă condiția celor 60°. De exemplu, dacă suprafața dată este de forma unui hexagon regulat (acoperit cu 6 triunghiuri echilaterale, să zicem), aceeași suprafață poate fi acoperită cu un hexagon regulat. Există desigur și cazuri în care nu este posibil, de exemplu dacă suprafața dată are forma unui triunghi echilateral (construit din unul sau mai multe triunghiuri echilaterale), pentru că o asemenea suprafață nu se poate acoperi cu hexagoane, din cauza vîrfurilor de 60° pe care nu le poți acoperi cu vîrfuri de 120°.
Pe scurt:
- pătrate: nu;
- pentagoane regulate: nu;
- hexagoane regulate: depinde.