Desenul meu arată astfel:
Banda e orizontală cu un capăt în stânga paginii iar marginile panglicii se prelungesc spre dreapta indefinit. Colțul de sus al capătului îl notez cu D. Duc o secantă aplecată spre dreapta, care face cu marginea de jos un unghi cam de 300 (unghiul a din ipoteză). Notez intersecția ei cu marginea de jos cu A și intersecția cu cea de sus cu B. Pliez colțul D în jurul secantei, ceea ce înseamnă că fiecărui punct pornind din B spre D îi desenez simetricul față de secantă, până cănd linia punctelor de simetrie intersectează marginea inferioară a panglicii în punctul C. Triunghiul de suprapunere este ABC.
Soluția 1. unghiul a = unghiul DBA ca alterne interne iar unghiul DBA = unghiul ABC din construcție, AB fiind bisectoare a unghiului DBC.
Rezultă triunghiul ABC isoscel cu vârful în C, deci segmentele AC și CB sunt egale. Luînd ca bază a triunghiului ABC segmentul AC = b, aria acesuia este egală cu b*d/2. Aria minimă este egală cu valoarea corespunzătoare lungimii minime a lui b, adică cea corespunzătoare lungimii minime a segmentului BC. Dar lungimea minimă a lui BC este BC=d, situație în care triunghiul ABC devine isoscel dreptunghic deci
a = 45o iar aria triunghiului ABC devine d2/2. Această soluție îmi place pentru că nu presupune calcule.
Soluția 2.
Exprimăm aria triunghiului ABC cunoscând două laturi și unghiul dintre ele, adică aria =(1/2)* b2sin(Pi-2*a) apoi în funcție de bază și înălțime, adică aria=b*d/2. Egalând cele două expresii obținem b = d/sin(Pi-2a). Baza b are deci un minim pentru sin(Pi-2a)=1, deci a = Pi/4.
Relativ la desenul meu, condiția ca banda să fie suficient de lungă înseamnă ca prin pliere D să cadă în afara panglicii oricare ar fi înclinația secantei.