Verificăm pentru n = 1, n = 2 și n = 3 și observăm că, pentru n = 3, n! + 1 / (2n)! + 1 (simbolul / reprezintă relația divide pe). Analizăm ce se întâmplă pentru n >= 4.
Fie C = C(2n, n) = (2n)!/(n!)^2 unde C(2n, n) înseamnă combinări de 2n luate câte n. (2n)! = C * (n!)^2 => (2n)! + 1 = C * (n!)^2 + 1 => (2n)! + 1 - (C + 1) = C * (n!)^2 - C => (2n)! + 1 - (C + !) = C * [(n!)^2 - 1] sau (2n)! + 1 - (C + 1) = C * (n! + 1)(n! - 1). (1) Din (1) observăm că (n! + 1) / [(2n)! + 1] <=> (n! + 1) / (C + 1) ( / = divide pe). (2) ceea ce reduce problema la a găsi valorile lui n >= 4 pentru care (n! + 1) / (C + 1).
(n! + 1) / (C + !) <=> există a, număr natural, astfel încât C + 1 = a(n! + 1) Se vede că a e impar, ca raport de numere impare. Se calculează ușor că, pentru n = 3, a = (C + 1)/(n! + 1) = 3 . Analizăm ce se întâmplă cu acest raport pentru n >= 4.
Fie F(n) definită pe intervalul [3, infinit) cu valori in N, F(n) = (C + 1)/(n!+1). Demonstrăm că această funcție este strict descrescătoare pe intervalul pe care e definită.
F(n) = [C/(n! + 1)] + 1/(n! + 1). Al doilea termen al acestei sume e evident strict descrescător. Deoarece C/(n! + 1) < C/n! oricare ar fi n, dacă funcția G(n) = C/n! este strict descrescătoare, atunci C/(n! + 1) e cu atât mai mult strict descrescătoare. Fie G(n + 1)/G(n) = [C(2n + 2, n + 1)/[(n + 1)!] * n!/C = = (2n + 2)!/[(n + 1)!]^3 * (n!)^3/(2n)! = (2n + 1)(2n +2)/(n + 1)^3 = =2(2n + 1)/(n + 1)^2 < 1. Ultima inegalitate se demonstrează simplu pe domeniul considerat.
Am demonstrat că G(n) e strict descrescătoare, deci C/(n! + 1) e strict descrescătoare și, în concluzie, F(n) = (C + 1)/(n! + 1) e strict descrescătoare. Deci, dacă pentru n = 3, F(3) = 3, pentru n >= 4, F(n) < 3. Am arătat însă că acest raport este impar, deci singura valoare rămasă este (C + 1)/(n! + 1) = 1. Dar asta înseamnă C = n! => (2n)! = (n!)^3. Ultima egalitate nu poate fi adevărată deoarece, conform teoremei lui Bertrand, între n și 2n există cel puțin un număr prim p, n < p < 2n care nu poate fi produsul niciunuia din divizorii lui (n!)^3. De asemenea, n < p => niciun divizor al lui (n!)^3 nu poate fi multiplu al lui p. Prin urmare, deoarece au factorizări diferite (2n)! și (n!)^3 nu pot fi egale.
În conluzie nu există n natural, n > 3 astfel încât (n! + 1) / (C + 1), ( / = divide pe), ceea ce, din propoziția (2), este echivalent cu a afirma că nu există n natural mai mare ca 3 astfel încât n! + 1 / (2n)! + 1.