2^m+3^n=x^2
2^m=x^2-3^n
3^n=x^2-2^m
2^m=x^2-x^2-2^m se reduce x^2 cu x^2 şi ne rămâne 2^m=-2^m de unde rezultă că m nu poate fi decât par la fel şi la
3^n=x^2-x^2-3^n se reduce x^2 cu x^2 şi ne rămâne 3^n=-3^n de unde rezultă că n la fel nu poate fi decât par. Am stabilit că m şi n nu pot fi decât numere pare şi ştim faptul că orice număr ridicat la o putere pară întotdeauna ne va da un număr pătrat perfect deci ecuaţia 2^m+3^n=x^n este o ecuaţie pitagoreică în care ştim formula generală este
2 la orice putere ne va da un număr par 3 la orice putere ne va da un număr impar, un număr par plus un număr impar vom obţine întotdeauna un număr impar deci x nu poate fi decât un pătrat perfect impar
pătratele perfecte pare se termină întotdeauna în: şi voi scrie doar ultimele două cifre 04, 24, 44, 64, 84, 16, 36, 56, 76, 96 şi 00
şi pătratele perfecte impare se termină în: 01, 21, 41, 61, 81, 09, 29, 49, 69, 89 şi 25
2 ridicat la puteri pare vom obţine numere pătrate perfecte care au ultimele două cifre 04, 24, 44, 64, 84, 16, 36, 56, 76, 96
la fel 3 ridicat la puteri pare vom obţine numere pătrate perfecte care au ultimele două cifre 01, 21, 41, 61, 81, 09, 29, 49, 69, 89 şi din toate astea avem următoarele posibilităţi:
...01+...24=...25
...21+...04=...25
...41+...84=...25
...61+...64=...25
...81+...44=...25
...09+...16=...25
...29+...96=...25
...49+...76=...25
...69+...56=...25
...89+...36=...25
deci x^2 nu poate fi decât un pătrat perfect care se termină în 25.
Şi acum formula fundamentală a lui Euclid de generare a tripletelor pitagoreice este unde m şi n sunt numere întregi pozitive unde m>n şi m-n egal cu un număr impar.
2^m+3^n=x^2 acum trebuie să vedem dintre baza 2 şi 3 care este a şi care este b
a nu poate fi 2 pentru că 2=m^2-n^2 ori care ar fi m şi n nu există două numere pătrate perfecte în care făcând diferenţa între ele să dea 2 se poate verifica am scris mai sus toate terminaţiile de la numerele pătrate perfecte. Deci a nu poate fi decât 3 şi avem 3=m^2-n^2 unde singura soluţie pentru m şi n este m=2 şi n=1
3=2^2-1^2
b este 2 unde avem 2=2mn 2=2*2*1=4 şi c=2^2+1^2 c=5
a=3
b=4
c=5
unde aceasta este chiar primul triplet de numere pitagoreice 3^2+4^2=5^2
unde pe 4^2 avem posibilitatea să-l scrie ca 2^4 aceasta fiind singura soluţie a ecuaţiei ab = ba unde a=2 şi b=4 sau invers a=4 şi b=2 (24 = 42)
şi atunci 2^m+3^n=x^2 cu soluţia unică m=4 şi n=2
2^4+3^2=5^2
16+9=25