Numărul e are cîteva proprietăți unice. Acele proprietăți îl fac să fie aproape întotdeauna preferat ca bază pentru logaritmi și pentru funcțiile exponențiale. La școală învățăm și despre logaritmi în baza 10 sau alte baze, și funcții exponențiale cu diverse baze, dar în aplicațiile practice ale logaritmilor și exponențialelor se folosește preponderent baza e, pentru că are cîteva proprietăți care le simplifică utilizarea. De aceea logaritmii în baza e se cheamă naturali.
Iată cîteva dintre proprietăți:
- Așa cum a spus și claudius93, dacă luăm funcția exponențială a^x, e este singura valoare a bazei pentru care derivata funcției în punctul x=0 este 1. De fapt proprietatea este și mai remarcabilă: derivata funcției a^x este egală cu ea însăși în toate punctele x, dar asta numai dacă baza a are valoarea e. De altfel funcția e^x (înmulțită cu orice constantă reală) este singura funcție egală în toate punctele cu derivata sa. Și ca urmare e singura funcție care rămîne neschimbată ori de cîte ori o derivăm.
- Logaritmul în baza e, adică logaritmul natural, este singurul care în punctul x=0 are derivata 1. Orice logaritm log (x) derivat dă o funcție proporțională cu 1/x, dar dintre toți logaritmii numai cel natural are derivata egală cu 1/x, fără alt factor. Rezultă că e „natural” să alegem baza e pentru logaritmi, pentru că se simplifică socotelile.
- Descreșterea exponențială se găsește într-o mulțime de fenomene naturale: răcirea unui obiect cald adus într-un mediu rece, descărcarea unui condensator printr-un rezistor, dezintegrarea nucleară, absorbția luminii, amortizarea oscilațiilor etc. etc. Aceste fenomene pot fi descrise printr-un parametru --- temperatură, tensiune etc. --- care variază în timp după funcția e^(-t/tau), unde tau e un parametru cu dimensiune de timp care arată cît de repede se produce fenomenul. În loc de baza e se poate alege orice alt număr, de exemplu 2 sau 10, și descrierea e la fel de exactă. Dar numărul e este singurul care are următoarea proprietate remarcabilă: în orice punct te-ai afla pe graficul funcției, dacă iei tangenta în acel punct și o prelungești pînă ajungi la y=0, intersecția se produce cu exact 1 tau mai tîrziu față de punctul de pornire. În acel moment funcția are valoarea egală cu 1/e din cea inițială.
Mai există și alte proprietăți interesante. Peste una din ele am căzut întîmplător zilele trecute în discuția despre probabilități de aici, din care am aflat că dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă e 1/N, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă în N încercări tinde spre 1/e cînd N tinde la infinit. La fel, numărul e poate fi găsit ca limită a unor funcții și serii simple. El apare fără să vrei într-o mulțime de calcule de fizică, chimie, biologie, economie etc.
Deci da, numărul e li se poate explica și celor neinițiați, dar e nevoie ca ei să știe mai întîi cîte ceva despre funcții și derivate. Dar astea sînt concepte intuitive, ușor de explicat chiar cu mult înainte ca ele să se predea la școală (ele se pot explica și fără numere, și fără formule, dar ca să poți vorbi despre numărul e este totuși nevoie și de noțiunea de număr).
Date fiind proprietățile lui remarcabile, numărul e a fost descoperit de mai multe ori, în diverse domenii ale cunoașterii, începînd evident cu matematica, dar și în alte domenii care folosesc matematica pentru a analiza lucrurile.
Găsiți la Wikipedia cîte ceva despre istoria lui și o listă lungă de proprietăți:
https://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29