De ce apare pătratul suplimentar?

Question

În imaginea de mai jos, figurile geometrice colorate individuale care formează triunghiurile ​mari au suprafete identice. De ce totuşi în triunghiul de jos "încape" şi pătrăţelul alb?

 

 

Answer 1

 

Dacă privim la cele două triunghiuri deptunghice, cel galben și cel verde, putem vedea că unghiurile ascuțite din partea lor stângă nu sunt egale. Notăm unghiul respectiv al triunghiului verde cu v și unghiul triunghiului galben cu g.  Folosind pătrățelele pe care sunt desenate, observăm că tgv=2/5 iar tgg=3/8(tgv și tgg reprezintă tangentă de v, repectiv de g). Cum 2/5 > 3/8, rezultă că v > g.

Aceasta face că niciuna din cele două figuri, cea de sus și cea de jos, să nu fie triunghiuri ci patrulatere (incluzând în cazul celui de jos și pătrățelul necolorat).

Ceea ce pare o ipotenuza în ambele cazuri reprezintă de fapt două segmente ce nu se află în prelungire ci formează un unghi foarte deschis a cărui orientare în primul caz este în sus (ține apa, iar patrulaterul are aspect concav) iar în al doilea caz este orientat în jos (nu ține apa, iar patrulaterul are aspect convex).

Pătrățelul nu apare în plus în figura ci reprezintă aria care se scoate de la bază adaugandu-se pentru realizarea convexității patrulaterului de jos. Prin calcule relativ simple se poate arăta că figura de jos capătă forma convexă prin adăugarea unui romb foarte alungit, a cărui arie este egală că cea a pătrățelului.

Comments

Ar fi interesant, de dragul completitudinii, de făcut şi calculele.

Mai ştiţi aranjamente geometrice similare care să genereze astfel de, să le zicem, anomalii aparente?

---

Aria triunghiului determinat de ipotenuzele triunghiurilor galben și verde și segmentul care le unește capetele libere (aria concavității în primul caz și a convexității în al doilea caz) se calculează cu formula lui Heron, pentru situația când se cunosc laturile unui triunghi oarecare. Ele sunt egale, fiecare, cu o.5 unități. Prin urmare, ca să se ajungă de la forma concavă la forma convexă s-a adăugat o arie de 0.5+0.5=1, adică aria pătrățelului.

---

Puiu, de ce nu i-ați reproșat lui Goguv că ar fi trebuit să spună încă din enunț că cele două triunghiuri mari doar PAR triunghiuri? De ce v-ați mulțumit să spuneți asta singur în răspuns?

La fel e și în problema cu oglinda: lucrurile nu sînt ce par a fi, dar e treaba celui care rezolvă să-și dea seama de asta.

Și ca să fiu și eu chițibușar, figura care reprezintă diferența dintre cele două patrulatere mari nu este un romb, pentru că nu are toate laturile de aceeași lungime, ci este un paralelogram.

---

Nu am un dublu standard (ce motiv aș avea?) ci, pur și simplu, nu am dat atenție formulărilor "triunghiurile mari" și "triunghiul de jos", rămânând sub impresia formulării "figurile geometrice colorate individuale".
Dar nu aș avea nimic de reproșat lui Goguv, deoarece în întrebare m-a făcut să înțeleg clar ce am de rezolvat.
Nici dumneavoastră nu v-am făcut neapărat un reproș, am comentat, după ce am dat răspunsul, la comentariul pe care l-ați făcut la adresa răspunsului meu. Am aflat din comentariul dumneavoastră că răspunsul meu e corect fizic "în linii mari" dar nu e complet. Pai nu avea cum să fie complet, din punctul dumneavoastră de vedere, dar asta am înțeles-o mai târziu din alte comentarii pe subiect. La întrebarea "de ce X " eu am răspuns că " nu X ", iar la întrebarea "de ce nu Y", eu am răspuns că "din același motiv pentru care nu X".
Nu practic pedanterii intelectuale inutile și uneori chiar iritante pentru oameni care, evident, nu au nevoie de ele. Nu sunt nici chițibușar. Cum nici dumneavoastră nu sunteți chițibușar atunci când faceți observația în legătură cu ceea ce am numit romb (mi-a scapăt) și care este, intradevar, un paralelogram cu formă alungită .