Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

6 plusuri 0 minusuri
583 vizualizari

Profesorul dă o problemă: „În fiecare dimineață traversez strada pe la un semafor. Cînd semaforul e verde, traversez imediat; cînd e roșu, aștept pînă se face verde și atunci traversez. Îmi notez de fiecare dată timpul de așteptare. Știu că semaforul își schimbă culoarea periodic: 40 de secunde verde și 60 de secunde roșu. După foarte multe traversări, care este timpul meu mediu de așteptare la semafor?”

Elevul calculează și dă soluția: „18 secunde.”

Profesorul răspunde: „Soluția ar fi corectă dacă problema ar preciza o anumită ipoteză.”

Ce ipoteză lipsește din problemă?
Care e soluția corectă în lipsa acelei ipoteze?

Și, ca morală valabilă foarte des, mulți citesc și au impresia că au înțeles, dar numai aceia care observă ce lipsește au înțeles cu adevărat.

Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica
0 0
Cred că mai este important de specificat un interval de timp la care ne raportăm. Să zicem că pietonul în cauză ajunge la semafor în fiecare dimineaţă între un moment T şi un moment T+n secunde. Dacă n este multiplu de 100, soluţia statistică este cea indicată de elev. Dacă acel interval nu este specificat, atunci nu vom avea de făcut acelaşi calcul, căci vom vorbi de o distribuţie a timpilor pentru roşu/verde diferită de 60/40 de procente.
0 0
V-ați apropiat de răspuns. Apoi mai rămîne partea a doua a întrebării. Dar nu lăsați răspunsul sub formă de comentariu, că nu-l pot alege ca fiind cel mai bun.
0 0
Când o să am idee cum să abordez şi cea de-a doua întrebare o să scriu şi un răspuns. Până atunci, mai am de gândit :)
0 0
Calculand valoarea medie M0 elevul se raporteaza la un interval infinit, n tinde la infinit, asta prin definitia valorii medii.
 In cazul de fata el nu realizeaza N evenimente de genul "ajung la secunda X si trebuie sa astept Y secunde ca sa trec", apoi calculeaza o valoare medie M1. Daca ar putea realiza experimentul valoarea M1 ar tinde catre M0 pe masura ce numarul de evenimente creste (Legea numerelor mari). Faptul ca profesorul spune "Dupa foarte multe traversari (...)" ne da de inteles ca putem aplica Legea numerelor mari si vorbim asadar de valoarea medie M0.

 Prespunand ca elevul a calculat corect valoarea medie M0, desi pana nu vedem cum a calculat nu ne putem pronunta asupra ipotezei de la care a plecat, el avea nevoie de probabilitatea (sau frecventa) de producere a fiecarui eveniment "ajung la semafor la secunda X si astept Y secunde". In general aceeasi valoare medie poate caracteriza mai multe tipuri diferite de probabilitati: uniforma, gausiana etc. Eu as spune ca ipoteza nu lipseste ci este introdusa implicit atunci cand elevul calculeaza valoarea medie, dar cum nu avem acces la calcul, in general, nu putem fi siguri ce probabilitate de producere a evenimentelor a considerat.

Valoarea medie de 18 secunde se poate obtine, daca n-am gresit la calcul, plecand de la o probabilitate de distributie uniforma, adica toate evenimentele "ajung la semafor la secunda X si astept Y secunde" sunt la fel de probabile. Asta se traduce prin independenta statistica, lipsa oricarei corelatii, intre momentul cand ajunge profesorul la semafor si secunda (sau ceasul) semaforului. Profesorul nu spune nimic despre asta in datele problemei, el putand sa mearga mai incet sau sa cumpere un ziar cand semaforul este in rosu ca sa reduca timpul de asteptare si in cazul asta probabilitatea de producere a evenimentelor "ajung la semafor la secunda X si trebuie sa astept Y secunde" nu mai este uniforma, asta am vrut sa subliniez in raspunsul dat mai jos, dar cred ca nu m-am facut inteles.
 Fara a cunoaste probabilitatea de producere a evenimentelor teoretic toate raspunsurile bazate pe o probabilitate concreta de producere a evenimentelelor sunt corecte (matematic). In general se poate intampla ca nici o valoare medie calculata teoretic sa corespunda valorii medii obtinuta experimental (de exemplu din insemnarile profesorului).
0 0
HarapAlb, ați găsit răspunsul corect la prima întrebare, deși l-ați prezentat puțin cam încîlcit. Ipoteza care lipsește din problemă este că nu există nici o corelație între momentul la care sosește pietonul și faza în care se află ceasul intern al semaforului. Sau, altfel spus, că distribuția valorii acestui moment (un număr real între 0 și 100 s) este uniformă. Iar dacă distribuția e uniformă, atunci calculul elevului e corect: media timpului de așteptare e într-adevăr de 18 secunde. Cum arată calculul elevului, asta e o altă problemă. De fapt inițial așa mă gîndisem să dau problema, dar mi s-a părut mai interesant s-o dau altfel decît se dau problemele la școală. Am vrut să subliniez că înainte de a sări la socoteli e important să ne fie clare ipotezele de lucru. Socoteli poate face cam oricine.

Ați dat răspunsul și la a doua întrebare, dar tot cam alambicat. Răspunsul simplu este că, în cazul unei corelații, media timpului de așteptare poate fi oricît între 0 și 60 s, în funcție de cum arată distribuția respectivă.

De exemplu, să luăm un semafor de intersecție în cruce, unde pietonul vrea să ajungă în punctul diagonal opus. Pentru asta el traversează de două ori: mai întîi într-o direcție, iar apoi în direcția perpendiculară. La primul semafor pietonul poate ajunge aleator în orice fază a ciclului, dar al doilea semafor este corelat cu primul (de obicei cînd unul e roșu, celălalt e verde), deci pietonul nu mai sosește într-o fază aleatoare: de obicei găsește semaforul ori verde, ori roșu dar numai cu puțin timp rămas pînă la verde. Într-un astfel de caz timpul mediu de așteptare este mai aproape de zero decît la o distribuție uniformă.

Există și alte corelații posibile în practică: semafoare sincronizate de-a lungul unei străzi, faptul că pietonul observă de la distanță culoarea semaforului și-și ajustează viteza de mers încît să aibă mai puțin de așteptat, faptul că înainte de a ajunge la semafor pietonul a coborît dintr-un autobuz care a așteptat și el la același semafor etc. (inclusiv exemplele pe care le dați, cu ziarul, bastonul sau femeia frumoasă). Corelațiile acestea pot să scurteze sau să lungească timpul mediu de așteptare, în unele cazuri drastic.
0 0
Era o intrebare grea pentru ca majoritatea membrilor activi sunt elevi de liceu sau scoala generala. Cred ca ar fi fost mai fructuoasa o dezbatere a problemei pe forum decat aici in Q&A.

1 Raspuns

1 plus 4 minusuri
Timpul mediu de asteptare e cel care rezulta din insemnarile lui.

El daca vede ca e rosu se opreste mai intai la chioscul din colt sa cumpere ziarul sau sa joace numere la loto, daca mai sunt 5 secunde de culoare verde el nu o ia la goana ca merge in baston, cand se schimba semaforul in verde mai zaboveste putin pentru ca din coltul opus tocmai a traversat o femeie frumoasa si mai zaboveste o leaca s-o priveasca etc.
...