Forumul Scientia
Iulie 23, 2014, 06:02:27 *
Bine ai venit, Vizitator. Trebuie să te autentifici sau să îţi creezi un cont.
Ai pierdut sau nu ai primit emailul care conţine codul de activare al contului?

Autentifică-te cu numele de utilizator, parola şi precizează durata sesiunii.

SPRIJINĂ DEZVOLTAREA SCIENTIA

Noutăţi: Am publicat Regulamentul de utilizare a forumului Scientia. Îl puteţi citi în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".
 
   Pagina principală   Ajutor Caută Autentificare Creează un cont  
Pagini: [1] 2   În jos
  Imprimă  
Ajutor Subiect: Lectia de matematica:Formule trigonometrice  (Citit de 21777 ori)
0 Utilizatori şi 1 Vizitator pe acest subiect.
laurentiu
Vizitator
« : Martie 06, 2010, 07:35:00 »

O sa scriu doar formulele ,deoarece nu ma pricep prea bine sa fac triunghiuri(in cazul de fata dreptunghice),prin care sa dau si definitia acestor functii.
Incep:

       I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice \sin,\cos,tg,ctg si relatiile fundamentale


     1)\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=2\pi.Altfel spus \sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z};
     2)\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=2\pi.Altfel spus \cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z};
     3)tg:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R} este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=\pi.Altfel spus tg(x+k\pi)=tg x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z},unde \mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z};
     4)ctg:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R} este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=\pi.Altfel spus ctg(x+k\pi)=ctg x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z};
   Relatii fundamentale:
     i)\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R};
     ii)tg x\cdot ctg x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2};
     iii)1+tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\};
     iv)1+ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi.
    Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.

       II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale

     i)\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x};
     ii)\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x};
     iii)tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{ctg x};
     iv)ctg^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{tg x}.
   Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice \mathbb{R} este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care x face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
       III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri

     i)\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y;
     ii)\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y;
     iii)\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y;
     iv)\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y;
     v)tg(x+y)=\frac{tg x+tg y}{1-tg x\cdot tg y};
     vi)tg(x-y)=\frac{tg x-tg y}{1+tg x\cdot tg y};
     vii)ctg(x+y)=\frac{ctg x\cdot ctg y-1}{ctg x+ctg y};
     viii)ctg(x-y)=\frac{ctg x\cdot ctg y+1}{ctg x-ctg y};
 Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
     i)\sin 2x=2\sin x\cos x;
     ii)\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x;
     iii)tg 2x=\frac{2tg x}{1-tg^2 x};
     iv)ctg 2x=\frac{ctg^2 x-1}{2ctg x}.

       IV.Formule pentru transformarea produsului in suma

     i)\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2};
     ii)\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2};
     iii)\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2};
     iv)tg x tg y=\frac{tg x+tg y}{ctg x+ctg y};
     v)ctg x ctg y=\frac{ctg x+ctg y}{tg x+tg y};
     vi)ctg x tg y=\frac{ctg x+tg y}{tg x+ctg y}.
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta x,y apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.

       V.Formule pentru transformarea sumelor in produse

     i)\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2});
     ii)\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2});
     iii)\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2});
     iv)\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2});
     v)tg x+tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y};
     vi)tg x-tg y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y};
     vii)ctg x+ctg y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y};
     viii)ctg x-ctg y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}.
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta x,y apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.

       VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;

     Notatie:Pentru usurinta in redactare notez t=tg\frac{x}{2},unde \frac{x}{2}apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
      Sunt adevarate urmatoarele relatii:
     i)\sin x=\frac{2t}{1+t^2};
     ii)\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};
     iii)tg x=\frac{2t}{1-t^2};
     iv)ctg x=\frac{1-t^2}{2t}.
   

PS:sper ca este bine.

« Ultima modificare: Martie 06, 2010, 07:36:39 de către laurentiu » Memorat
Forumul Scientia
« : Martie 06, 2010, 07:35:00 »

 Memorat
Adi
Global Moderator
*****

Popularitate: +15/-6
Deconectat Deconectat

Mesaje: 11301



WWW
« Răspunde #1 : Martie 06, 2010, 08:35:21 »

Este excelent! Va iesi un articol minunat cand va pune Gothik pe site, toate adunate la un loc. Lumea chiar cauta pe google dupa "functii trigonometrice" si noi suntem deja sus pe google la aceste cautari.
Memorat

Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro
Bianca Sala
Experimentat
***

Popularitate: +1/-0
Deconectat Deconectat

Mesaje: 587



WWW
« Răspunde #2 : Martie 06, 2010, 08:47:57 »

Nu stiu daca in Romania se folosesc, dar in UK sunt foarte folosite si functiile  \sec x=\frac{1}{cosx} si  cosec x=\frac{1}{sinx} .
In foarte multe probleme de trigonometrie se folosesc relatii in functie de sec si cosec, cum ar fi:
1+\tan^2 x= \sec^2 x <br />1+\cot^2x=cosec^2 x
Acestea doua apar in aproape fiecare subiect de examen...
« Ultima modificare: Martie 06, 2010, 08:51:57 de către Bianca Sala, Reason: formulele nu apareau bine in LaTex » Memorat
Forumul Scientia
« Răspunde #2 : Martie 06, 2010, 08:47:57 »

 Memorat
laurentiu
Vizitator
« Răspunde #3 : Martie 06, 2010, 08:58:01 »

Eu tg si ctg nu le-am pus cu \tg,\ctg ca nu ar fi aparut cum trebuie .Am mers pe ideea sa pastrez traditia romaneasca in legatura cu aceste notatii ,chiar daca nu se vede frumos ca sin si cos nu va oberva nimeni diferenta ,adica nu sunt probleme de interpretare ctgx vor sti toti ca inseamna cotangenta de x.
Memorat
Bianca Sala
Experimentat
***

Popularitate: +1/-0
Deconectat Deconectat

Mesaje: 587



WWW
« Răspunde #4 : Martie 06, 2010, 09:06:22 »

Te referi la motivul pentru care am editat mesajul sau la ce?
In legatura cu tg si ctg, mi-am dat seama ca nu sunt puse cu \tg si \ctg doar cand am vazut codul LaTex pentru ele. Asa nici nu se observa, ai dreptate. Eu mi-am editat mesajul pentru ca apareau niste semne de intrebare in mijlocul formulei.
Dar eu in postul meu ma refeream la alte functii, "sec" si "cosec". Asa cum  cotx=\frac{1}{tanx} , asa  secx=\frac{1}{cosx} si  cosecx=\frac{1}{sinx} . Dar ma rog, poate in Romania nu sunt asa de folosite.
PS: tan=tg si cot=ctg (sa nu existe confuzii)
Memorat
Adi
Global Moderator
*****

Popularitate: +15/-6
Deconectat Deconectat

Mesaje: 11301



WWW
« Răspunde #5 : Martie 06, 2010, 09:33:32 »

Intr-adevar, secanta si cosecanta nu sunt prea folosite. Dar cand scriem in latex pe site vom scrie tan in loc de tg si cotan in loc de ctg. Este regretabil ca romanii folosesc notatii proprii, dar cand romanii vor scrie lucrari de licenta, masterat, doctorat sau articole de stiinta vor folosi notatia internationala, care este cea din Latex. Plus ca arata mai frumos cum este in Latex, cu formulele scrise drept, nu inclinate, ca atunci cand apare cand nu scrii \tan ci scrii tg. Pe viitor cred ca ar fi bine ca si pe forum sa scriem tot astfel. Pe site sigur vom scrie astfel.
Memorat

Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro
Bianca Sala
Experimentat
***

Popularitate: +1/-0
Deconectat Deconectat

Mesaje: 587



WWW
« Răspunde #6 : Martie 06, 2010, 10:01:52 »

Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul:  \sinx=\frac{2}{3} . Stii cumva de ce se intampla asta?
Memorat
laurentiu
Vizitator
« Răspunde #7 : Martie 06, 2010, 10:12:50 »

Formule trigonometrice

       I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice \sin,\cos,\tan,\cot si relatiile fundamentale


     1)\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=2\pi.Altfel spus \sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z};
     2)\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=2\pi.Altfel spus \cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z};
     3)\tan:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R} este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=\pi.Altfel spus \tan(x+k\pi)=\tan x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z},unde \mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z};
     4)\cot:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R} este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala T=\pi.Altfel spus \cot(x+k\pi)=\cot x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z};
   Relatii fundamentale:
     i)\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R};
     ii)\tan x\cdot \cot x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2};
     iii)1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\};
     iv)1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi.
    Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.

       II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale

     i)\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x};
     ii)\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x};
     iii)\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cot x};
     iv)\cot^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{\tan x}.
   Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice \mathbb{R} este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care x face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
       III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri

     i)\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y;
     ii)\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y;
     iii)\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y;
     iv)\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y;
     v)\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y};
     vi)\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot \tan y};
     vii)\cot(x+y)=\frac{\cot x\cdot \cot y-1}{\cot x+\cot y};
     viii)\cot(x-y)=\frac{\cot x\cdot \cot y+1}{\cot x-\cot y};
 Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
     i)\sin 2x=2\sin x\cos x;
     ii)\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x;
     iii)\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x};
     iv)\cot 2x=\frac{\cot^2 x-1}{2\cot x}.

       IV.Formule pentru transformarea produsului in suma

     i)\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2};
     ii)\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2};
     iii)\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2};
     iv)\tan x \tan y=\frac{\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y};
     v)\cot x \cot y=\frac{\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y};
     vi)\cot x \tan y=\frac{\cot x+\tan y}{\tan x+\cot y}.
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta x,y apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.

       V.Formule pentru transformarea sumelor in produse

     i)\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2});
     ii)\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2});
     iii)\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2});
     iv)\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2});
     v)\tan x+\tan y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y};
     vi)\tan x-\tan y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y};
     vii)\cot x+\cot y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y};
     viii)\cot x-\cot y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}.
   Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta x,y apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.

       VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;

     Notatie:Pentru usurinta in redactare notez t=tg\frac{x}{2},unde \frac{x}{2}apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
      Sunt adevarate urmatoarele relatii:
     i)\sin x=\frac{2t}{1+t^2};
     ii)\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};
     iii)\tan x=\frac{2t}{1-t^2};
     iv)\cot x=\frac{1-t^2}{2t}.
   


« Ultima modificare: Martie 06, 2010, 10:18:14 de către laurentiu » Memorat
laurentiu
Vizitator
« Răspunde #8 : Martie 06, 2010, 10:16:18 »

Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul:  \sinx=\frac{2}{3} . Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica \sin x
Memorat
Adi
Global Moderator
*****

Popularitate: +15/-6
Deconectat Deconectat

Mesaje: 11301



WWW
« Răspunde #9 : Martie 06, 2010, 10:20:00 »

Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul:  \sinx=\frac{2}{3} . Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica \sin x

DA, asa este, trebuie spatiu intre sin si x. Altfel latex nu cauta comanda sinx si nu o gaseste.
Memorat

Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro
Adi
Global Moderator
*****

Popularitate: +15/-6
Deconectat Deconectat

Mesaje: 11301



WWW
« Răspunde #10 : Martie 06, 2010, 10:21:01 »

Ah, vad ca ai postat si cu notatiile de tan si cot. Mersi mult!
Memorat

Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro
b12mihai
Senior
****

Popularitate: +2/-0
Deconectat Deconectat

Mesaje: 1124



« Răspunde #11 : Martie 06, 2010, 11:21:12 »

@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...

Un singur lucru a omis @laurentiu (asta la un studiu superficial) la definitia tangentei, respectiv a cotangentei ar fi trebuit precizat ca  \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} si  \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x} , iar codomeniul pentru sin si cos e [-1,1], nu [0,1]. Am sa corectez erorile (cel mai probabil din neatentie facute) si am sa mai fac completari daca e necesar.
Memorat

Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.
laurentiu
Vizitator
« Răspunde #12 : Martie 06, 2010, 11:35:09 »

da ai dreptate gothik ,am uitat sa mai scriu formulele tangentei si cotangentei chiar daca pe tot articolu incercam sa-mi demonstrez in minte unele chestii legate de tangenta si apelam de multe ori la formula sin/cos ,chiar te rog mult sa modifici eroarea mea de scriere ,a fost din neatentie ca la o problema azi imi ramasese in gand un modul de sin x definit pe o R cu valori in [0,1] si de acolo am zis ca primitiva e crescatoare etc.Probabil de-asta am scris gresit
Memorat
laurentiu
Vizitator
« Răspunde #13 : Martie 06, 2010, 11:38:54 »

Mai erau de scris formulele de la unghiul triplu si linearizarea puterilor acestor functii da' era o gramada de scris .Sper sa apuc sa le scriu maine .Daca nu ai pus astea pe site ,nu le pune pana maine sa vin si cu acele formule .Sper ca pana cel tarziu maine seara sa le scriu aici .
Memorat
Adi
Global Moderator
*****

Popularitate: +15/-6
Deconectat Deconectat

Mesaje: 11301



WWW
« Răspunde #14 : Martie 07, 2010, 12:18:47 »

@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...

Atunci vom scrie cu bold, mare, sus ca in textele de mai jos notatia cunoscuta lor de "tg" se va nota cu "tan" si notatia de ctg se va nota cu "cot" si ca astea sunt notatiile internationale pe care le vor folosi si ei  mai tarziu, mai ales cand vor scrie lucrarile de licenta, master, doctorat sau articole stiintifice in Latex, asa cum e norma, si cum scriem si noi pe site. Prin urmare, notatiile acestea ii pregatesc pentru viata. Daca spunem asta in articol, vor intelege, iar care nu, e treaba lor.
Memorat

Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro
Pagini: [1] 2   În sus
  Imprimă  
 
Schimbă forumul:  

Creat cu MySQL Creat cu PHP Powered by SMF 1.1.19 | SMF © 2006-2009, Simple Machines
SMFAds for Free Forums | Sitemap
Validat cu XHTML 1.0! Validat cu CSS!