geodezicaDacă vă urcaţi în Amsterdam în avionul de New York, o să constataţi o ciudăţenie pe ecranele ce vă indică ruta: avionul pare că urmează să facă un ocol până în sudul Groenlandei, în loc să meargă de-a dreptul către  oraşul american. Care să fie motivul? Să fie aceasta cea mai scurtă distanţă? Citiţi acest articol pentru lămuriri.

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Meridianul, în geografie, este reprezentat de fiecare dintre liniile imaginare care rezultă din intersecţia suprafeţei Pământului cu semiplanul sprijinit pe axa geografică, constituind liniile de reper pentru măsurarea longitudinii geografice. Mai general, în matematică, meridianul este o curbă a unei suprafeţe de rotaţie cu un plan care trece prin axa ei de rotaţie.


Paralela
, în geografie, este reprezentată de fiecare dintre cercurile imaginare care unesc punctele cu aceeaşi latitudine de pe suprafaţa Pământului şi care rezultă din intersectarea suprafeţei Pământului cu un plan paralel cu planul ecuatorial.  Mai general, în matematică, paralela este cercul situat pe o suprafaţă de rotaţie, obţinut prin intersecţia acestei suprafeţe cu un plan perpendicular pe axa ei de rotaţie.


Paralele meridiane



CEA MAI SCURTĂ DISTANŢĂ ÎNTRE DOUĂ PUNCTE DE PE SUPRAFAŢA GLOBULUI


Dacă geometria euclidiană, care operează cu figuri geometrice plane, ne-a învăţat că cel mai scurt drum între două puncte este segmentul de dreaptă care le uneşte, atunci când vorbim despre forme geometrice cum este cazul Pământului (pe care o vom aproxima în cele ce urmează, pentru a facilita raţionamentele de mai jos, cu o sferă), regulile lui Euclid încetează să se mai aplice. Mai mult, concluziile la care se ajunge sunt deseori contraintuitive, mai ales în contextul în care suntem obişnuiţi cu reprezentarea plană, pe hărţi de perete, a continentelor, reprezentare care, aşa cum se va dovedi mai jos, este adesea înşelătoare.

Chicago - Roma pe hartă
Drumul cel mai scurt între Chicago şi Roma conform hărţilor plane de perete

 


Între Chicago şi Roma, ambele oraşe aflate pe paralela de 41 de grade latitudine nordică, drumul cel mai scurt pare a fi, la o privire rapidă pe o hartă de perete (vezi imaginea de deasupra) ori chiar pe un glob pământesc, cel conţinut de respectiva paralelă. Este clar că dacă sfera cu care aproximăm Terra ar fi putut fi străbătută prin interior, atunci cel mai scurt drum între cele două mari oraşe ar fi fost reprezentat de o linie dreaptă care să le unească, deci un fel de tunel subteran de dimensiuni planetare.


În realitate, distanţa dintre cele două oraşe trebuie parcursă pe suprafaţa unei sfere (de fapt avioanele zboară la câţiva kilometri altitudine, dar raportat la dimensiunile planetei această înălţime poate fi neglijată), astfel că trebuie să determinăm drumul cel mai scurt în aceste condiţii.

PUŢINĂ MATEMATICĂ...

intersectie planuri sfera
Intersecţia planurilor cu sfera

 

 

  1. Oricare 3 puncte care nu sunt coliniare determină un plan.
  2. Intersecţia dintre un plan şi o sferă este un cerc.
  3. Pe o sferă două puncte sunt conţinute într-o multitudine de cercuri. Cu cât cercul are circumferinţa mai mare, cu atât drumul dintre cele două puncte (arcul de cerc corespunzător) este mai scurt. Cercurile de circumferinţă maximă trec prin centrul sferei.
  4. Dacă aproximăm Terra cu o sferă (deşi în realitate avem de-a face cu un elipsoid), exemple de cercuri de circumferinţă maximă sunt ecuatorul şi meridianele (acestea din urmă sunt semicercuri de circumferinţă maximă), dar oricare 2 puncte de pe suprafaţa planetei generează împreună cu centrul Pământului (cf. 1) un plan care, la intersecţia cu suprafaţa sferei, dă naştere unui asemenea cerc de circumferinţă maximă.

    Cerc maxim
    Cerc de circumferinţă maximă


OBSERVAŢII GEOMETRICE SUPLIMENTARE


Aşa cum se poate vedea în figura de mai jos, dacă avem două puncte şi un cerc care le conţine (astfel că cele două puncte formează un arc de cerc pe circumferinţa acestuia), cu cât cercul care conţine arcul de cerc determinat de cele două puncte este mai mare, cu atât acesta din urmă este mai plat, mai apropiat de un segment de dreaptă, deci de lungime mai mică.

arc de cerc minim
Arcul de cerc conţinut pe cercul maxim are lungimea minimă

Cum oricare două puncte de pe suprafaţa unei sfere pot fi conţinute de o infinitate de cercuri aparţinând acesteia, arcul de cerc format de ele este de lungime minimă atunci când cercul cărora le aparţine este cercul maxim (dpdv al circumferinţei) posibil de construit pe suprafaţa sferei. Adică un cerc de dimensiunile ecuatorului ori de dimensiunile a două meridiane opuse, luate împreună. Acesta se poate construi prin intersectarea planului determinat de cele două puncte şi de centrul sferei (oricare trei puncte care nu sunt coliniare determină un plan) cu suprafaţa sferei.

Revenind la cazul concret al distanţei minime între Chicago şi Roma, aceasta nu va fi pe paralela de 41 de grade latitudine nordică, ci pe arcul de cerc conţinut de un cerc de dimensiunile ecuatorului şi determinat conform celor menţionate anterior (vezi figura de mai jos).

Chicago-Roma
Geodezica este un drum mai scurt decât cel de pe paralela de 41 de grade latitudine nordică

LINIILE GEODEZICE ŞI CĂILE AERIENE INTERNAŢIONALE

În realitate, cum Terra nu este o sferă perfectă, algoritmul descris mai sus pentru determinarea drumului minim între două puncte este adaptat la geografia planetei, dar ideea de bază este aceeaşi. Curba care reprezintă cea mai scurtă distanţă între două puncte pe o suprafaţă curbă, cum este şi cazul suprafeţei Pământului, poartă numele de linie geodezică, curbă geodezică sau, mai simplu, geodezică.
Puteţi vedea mai jos o animaţie foarte sugestivă care prezintă conceptele descrise anterior:

 

Aşadar, dacă zburaţi cu o cursă directă New York - Tokyo, deşi plecaţi de la 40 de grade latitudine nordică pentru a ajunge la destinaţie la 35 de grade latitudine nordică, deci mai la SUD de punctul de plecare, cursa d-voastră pleacă spre NORD-est faţă de New York, traversează Alaska ajungând chiar la 70 de grade latitudine nordică, iar apoi se îndreaptă spre SUD-vest către Tokyo. La fel, dacă veţi călători de la Chicago spre Roma, la începutul cursei avionul se va îndrepta spre nord-est, pentru a "coborî" apoi spre sud-est, deşi ambele mari oraşe sunt pe paralela de 41 de grade latitudine nordică.


Curba geodezica
Curba geodezică - reprezentare pe glob (sus) şi în coordonate geografice.
Credit: jennessent.com




Bibliografie:
earthquake.usgs.gov/learning/animations/flash/greatcircles.swf
www.heartofmath.com/surfing_the_book/pdfs/Chapter04/Page292.pdf
dexonline.ro


Dacă găsiţi scientia.ro util, sprijiniţi-ne cu o donaţie.


PayPal ()
CoinGate Payment ButtonCriptomonedă
Susţine-ne pe Patreon!