Primitivele binome sunt primitive de forma {tex}\int x^m(ax^n+b)^p\,dx{/tex},

unde {tex}a,b\in\mathbb{R}; m,n,p\in\mathbb{Q}{/tex} şi care îndeplinesc una din condiţiile lui Cebâşev:

 

1.
{tex}p\in\mathbb{Z}{/tex} , unde {tex}\frac{m+1}{n}=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(x^n)^{\frac{1}{s}}{/tex}


2.
{tex}\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}{/tex},
unde {tex}p=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(ax^n+b)^{\frac{1}{s}{/tex}


3.
{tex}\frac{m+1}{n} + p\in\mathbb{Z}{/tex} , unde {tex}p=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(a+bx^{-n})^{\frac{1}{s}{/tex}


Aceste substituţii reduc calculul primitivei {tex}\int x^m(ax^n+b)^p\,dx{/tex}
la calculul primitivei dintr-o funcţie raţională.

 

 

Într-adevăr,

1. Cu substituţia
{tex}t=(x^n)^{\frac{1}{s}}{/tex},
avem
{tex}x=(t^s)^{\frac{1}{s}},dx=\frac{s}{n}t^{\frac{s}{n}-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\int (t^s)^{\frac{m}{n}}(at^s+b)^p\frac{s}{n}t^{\frac{s}{n}-1}\,dt
=\frac{s}{n}\int t^{r-1}(at^s+b)^p\,dt=\int R(t)\,dt{/tex}


2. Cu substituţia
{tex}t=(ax^n+b)^{\frac{1}{s}{/tex},
avem
{tex}x=\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}},dx=\frac{s}{na}\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}-1}t^{s-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\tiny \int \left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{m}{n}}t^{sp}\frac{s}{na}\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}-1}t^{s-1}\,dt=\frac{s}{na}\int \left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{m+1}{n}-1}t^{r+s-1}\,dt=\int R(t)\,dt{/tex}


3. Cu substituţia
{tex}t=(a+bx^{-n})^{\frac{1}{s}{/tex},
avem
{tex}x=\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}},dx=\frac{-s}{nb}\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}+1}t^{s-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\tiny \int \left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{m}{n}}\left(\frac{bt^s}{t^s-a}\right)^p\frac{-s}{nb}\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}+1}t^{s-1}\,dt=-\frac{s}{nb}\int \left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{m+1}{n}+p+1}t^{r+s-1}\,dt=\int R(t)dt{/tex}


Observaţie: P.L.Cebâşev a arătat că,
dacă {tex}p,\frac{m+1}{n}{/tex} şi {tex}\frac{m+1}{n}+p\notin\mathbb{Z}{/tex},
atunci primitiva nu poate fi rezolvată prin mijloace elementare.

 

 

Bibliografie: Gh. Sireţchi, Calcul diferenţial şi integral, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.

Pt a posta comentarii: creați un cont pe site, folosiți contul de FB, Twitter sau Google ori postați ca vizitator (fără nicio formalitate de înregistrare). Pt vizitatori comentariile sunt moderate (nu se publică automat).

Loading comment... The comment will be refreshed after 00:00.

Fii primul care comentează.

Spune-ne care-i părerea ta...
caractere rămase.
Loghează-te ( Fă-ți un cont! )
ori scrie un comentariu ca „vizitator”

 


Sprijiniţi-ne cu o donaţie.


PayPal ()


Contact
| T&C | © 2020 Scientia.ro