În nenumărate probleme de matematică sunt întâlnite conceptele de parte întreagă şi parte fracţionară a unui număr real. În articolul de mai jos definim aceste două concepte şi enumerăm principalele proprietăţi menite să vă ajute în rezolvarea problemelor de matematică cu parte întreagă şi parte fracţionară.

Partea intreaga si fractionara

 

Fie {tex} $x\in\mathbb{R}${/tex} un număr real dat.

Definiţia 1: Se numeşte parte întreagă a numărului real {tex}x{/tex} cel mai mare număr întreg {tex}k{/tex} ce nu-l depăşeşte pe {tex}x{/tex}. Alternativ putem defini partea întreagă a lui {tex}x{/tex} având în vedere următoarele aspecte: pentru numărul real{tex}x{/tex} există şi este unic {tex}k\in\mathbb{Z}{/tex} cu proprietatea {tex}k\le x {/tex}.

Notaţie: Partea întreagă a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}[x]{/tex}.

Definiţia 2: Se numeşte parte fracţionară a numărului real {tex}x{/tex} diferenţa dintre {tex}x{/tex} şi partea lui întreagă.

Notaţie: Partea fracţionară a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}\{x\}{/tex}. Având în vedere această notaţie, partea fracţionară se defineşte astfel: {tex}\{x\}=x-[x]{/tex}.

Proprietăţi:

1) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},[k]=k{/tex};

2) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc egalitatea {tex}[x+k]=[x]+k{/tex};

3) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc relaţia {tex}\{x+k\}=\{x\}{/tex};

4) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z}{/tex} avem {tex}\{k\}=0{/tex};

5) Pentru {tex}\forall x\in\mathbb{R}{/tex} avem {tex}0\le\{x\}<1{/tex};

6) Pentru {tex}\forall x,y\in\mathbb{R}{/tex} are loc {tex}[x+y]\ge[x]+[y]{/tex};

7) Pentru orice două numere reale pozitive {tex}x,y{/tex} are loc inegalitatea {tex}[xy]\ge[x][y]{/tex};

8) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} este adevărată identitatea {tex}[\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}]{/tex};

9) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}}, \forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc identitatea lui Hermite:

{tex}[x] + [x+\frac{1}{n}] + [x+\frac{2}{n}] +...+ [x+\frac{n-1}{n}]=[nx]{/tex}

sau în scriere prescurtată:

{tex}\dsiplaystyle \sum_{k=0}^{n-1}  [x+\frac{k}{n}]=[nx]{/tex}

Puteți comenta folosind contul de pe site, de FB, Twitter sau Google ori ca vizitator (fără înregistrare). Pt vizitatori comentariile sunt moderate (aprobate de admin).

Loading comment... The comment will be refreshed after 00:00.

Fii primul care comentează.

Spune-ne care-i părerea ta...
caractere rămase.
Loghează-te ( Fă-ți un cont! )
ori scrie un comentariu ca „vizitator”

 


OK, conținutul site-ului a fost și va rămâne gratuit,
dar chiar ne-ar ajuta dacă ne-ai sprijini cu
o donaţie.


PayPal ()


Contact
| T&C | © 2020 Scientia.ro