Limita Pentru a ajunge de la Piteşti la Arad, trebuie să trecem prin punctul  C, care e la mijlocul distanţei dintre oraşe. Pentru a ajunge în punctul C, trebuie să trecem prin D, mijlocul distanţei dintre Piteşti şi C şi aşa mai departe. Oriunde am fi, există un punct de mijloc prin care trebuie să trecem. Cum ajungem totuşi la Arad?

CUPRINS:

Despre limită
Zenon din Elea şi paradoxul mişcării
Până unde putem merge cu împărţirea unei roţi de caşcaval
Limita mediei rândurilor scrise într-un caiet
Concluzii

...Autor


DESPRE LIMITĂ


Până la cât putem număra? O mie, un milion, un miliard? Putem să născocim un număr oricât de mare şi totuşi putem aduna o unitate obţinând astfel un număr şi mai mare. Ne putem întreba atunci: există o limită până unde putem număra? Răspunsul este negativ, deoarece şirul numerelor naturale – adică 1, 2, 3 şi aşa mai departe – nu are o limită, ci continuă la nesfârşit. Matematicienii vorbesc în acest caz despre un şir de numere care este nemărginit sau tinde la infinit. Conceptul de limită există doar împreună cu conceptul de şir de numere care cresc sau descresc conform unei relaţii între termenii săi. Faptul că limita unui astfel de şir, numit convergent, este finită – adică 1, π sau 2009 – sau infinită, nu este relevant. Întrebarea este dacă şirurile convergente îşi ating limita sau nu.

 

ZENON DIN ELEA ŞI PARADOXUL MIŞCĂRII

Zenon din Elea
Zenon din Elea

 

 

Cel mai bun mod de a înţelege subtilitatea întrebării este prin intermediul unui exemplu. Cu 2500 de ani în urmă, Zenon din Elea (cca. 490 BC? – cca. 430 BC?) punea mintea compatrioţilor săi la încercare cu unul dintre cele cinci paradoxuri, şi anume paradoxul mişcării.

Un călător vrea sa ajungă din oraşul A în oraşul B. Pentru aceasta, călătorul trebuie, pentru început, să parcurgă jumătate din distanţa dintre cele două oraşe. Pentru a parcurge această jumătate a distanţei, călătorul trebuie să parcurgă, pentru început, jumătatea jumătăţii drumului, adică o pătrime din drum. La fel, pentru a parcurge pătrimea din drum, el trebuie, pentru început, să parcurgă jumătatea pătrimii, adică o optime şi aşa mai departe. Raţionamentul lui Zenon este următorul: dacă procesul ar continua suficient de mult, la un moment dat distanţa pe care călătorul trebuie s-o parcurgă la începutul călătoriei dintre oraşele A si B este zero, astfel neexistând mişcare. Dar de vreme ce putem să ne mişcăm, undeva trebuie sa fie o greşeală, dar unde?

Se observă că şirul pe care Zenon îl construieşte este: distanţa iniţială, jumătatea distanţei, pătrimea distanţei, optimea distanţei, etc., adică, în termeni matematici:

 

Şir

 

De vreme ce distanţa iniţială devine din ce în ce mai mică, limita şirului este zero. Rămâne de văzut dacă şirul îşi atinge limita sau nu. Zenon pleacă  în paradoxul său de la premisa că şirul îşi atinge limita, ceea ce duce la concluzia că nu există mişcare.

 

PÂNĂ UNDE PUTEM MERGE CU ÎMPĂRŢIREA UNEI ROŢI DE CAŞCAVAL?

Oare are Zenon dreptate cu premisa sa? Să luăm un alt exemplu. Presupunem că avem o roată de caşcaval de 2 kg pe care-l tăiem în două bucăţi egale. O jumătate o punem deoparte, iar cealaltă jumătate o tăiem din nou în jumate. Avem atunci o jumătate şi două sferturi. Punând iar un sfert deoparte şi tăind în două celălalt sfert, vom avea: o jumătate, un sfert şi două optimi. Putem observa că obţinem chiar şirul de numere ca şi în cazul paradoxului mersului al lui Zenon pentru bucăţile de caşcaval pe care le punem deoparte. Putem continua acest proces, dar oare cât de mult? După doar 10 paşi cele două bucăţi de caşcaval vor mai cântări aproximativ 2 g, iar după alţi 10 paşi mai puţin de 2 mg. În realitate, procesul divizării nu poate continua de nenumărate ori, dar matematic da. Există aşadar un pas în cadrul procesului când, după divizare, elementul şirului nu mai există real, ci doar abstract sub forma unui număr. Pentru ca trecerea de la obiectul real la cel abstract să permită o revenire din abstract la real, trebuie ca regula divizării în jumate să rămână valabilă în ambele cazuri. Adică, de fiecare dată când tăiem în două o bucată de caşcaval, cele două jumătăţi de caşcaval vor avea încă masă, deoarece oricât de puţin ar cântări o bucată de caşcaval, nu se poate ca prin tăiere în două cele două jumătăţi să nu mai aibe masă. Aşadar, chiar dacă limita şirului greutăţilor de caşcaval este zero, ea nu va fi atinsă niciodată.



 

LIMITA MEDIEI RÂNDURILOR SCRISE ÎNTR-UN CAIET

Să mai luăm un exemplu: să ne imaginăm că avem un caiet care are un număr infinit de pagini. În prima zi scriem două rânduri în caiet, dar ne dăm seama că e prea puţin pentru a descrie ce s-a întâmplat în ziua respectivă, aşa că ne hotărâm ca din următoarea zi să scriem 5 rânduri pe zi.

Şirul pe care-l putem construi în acest caz este, de exemplu, cel al mediei rândurilor scrise. În prima zi vom avea 2 rânduri, în a doua zi 3,5 rânduri, în a treia zi 4 rânduri, în a patra zi vor fi 4,25 şi aşa mai departe. După 100 de zile media va fi 4,97, iar după 10000 de zile va fi 4,9997, iar limita şirului este 5 rânduri. Îşi atinge şirul limita sa? Nu, căci dacă şi-ar atinge limita asta ar însemna că şi în prima zi am scris tot 5 rânduri ceea ce este fals, deoarece am scris doar 2 rânduri. Pentru simplul fapt că în prima zi am scris un număr diferit de 5 rânduri în caiet face ca media rândurilor pe care le-am scris să rămână diferită de 5, adică limita să nu fie atinsă oricât de multe zile am scrie câte 5 rânduri.

 

CONCLUZII

În concluzie, nici un şir convergent de numere reale (evident nu ne referim la şirul constant) nu-şi atinge limita. Revenind la exemplul lui Zenon observăm că raţionamentul său era greşit, iar călătorul va ajunge într-un final în oraşul B. Greşeala lui Zenon este că se bazează doar pe şirul abstract, care-i permite să divizeze oricât de mult, ajungând la zero. În realitate o distanţă dată nu poate fi micşorată încât să nu mai existe deloc. Raţionamentul lui Zenon induce faptul că cele două oraşe coincid.

Putem observa două proprietăţi ale şirurilor convergente:

1. Faptul că şirul convergent nu-şi atinge limita implică faptul că nu există un ultim element, întotdeauna există şi acel element+1. În cazul lui Zenon există un ultim element care coincide cu limita.

2. Faptul că nu există un ultim element al şirului înseamnă că şirul conţine un număr infinit de elemente.

Cineva cu puţine cunoştinţe de analiză matematică, ne-ar putea însă spune: da, şirurile nu-şi ating limita, dar de vreme ce integrala este rezultatul unei limite, cum de valoarea ei coincide cu valoarea exactă a suprafeţei unei figuri geometrice? Într-adevăr, integrala reprezintă aria unei suprafeţe, de exemplu dreptunghiul de lungime 2 unităţi şi lăţime o unitate va avea suprafaţa 2. Calculând integrala corespunzătoare, adică

 

Integrala

 

obţinem aceeaşi valoare. Am observat mai devreme că valoarea limitei nu poate fi atinsă şi atunci apare întrebarea: cum de cele două valori coincid? Am spus anterior că limita unui şir există doar împreună cu şirul. Care este şirul de numere a cărui limită este integrala? Şirul care converge la valoarea integralei este şirul aproximărilor succesive ale suprafeţei pe care vrem s-o calculăm. Astfel că fiecare termen al şirului care se aproprie de limită aproximează mai bine valoarea reală a suprafeţei, dar n-o va atinge fiindcă şirul nu-şi poate atinge limita. Dar ceea ce ne interesează la suprafaţă nu este o aproximare, ci valoarea exactă, iar aceasta este dată de valoarea limitei, adică a integralei. Integrala reprezintă valoarea ideala a aproximaţiei, de aceea, nu şirul aproximaţiilor succesive este important în acest caz, ci doar valoarea limitei la care tinde, adică valoarea suprafeţei.

Se poate face o paralelă între cuplul şir-limită şi cuplul viteză-poziţie din principiul de nedeterminare al lui Heisenberg, care spune că, cu cât măsurăm mai exact viteza unei particule cu atât mai inexact poate fi măsurată poziţia particulei şi reciproc. Adică, punând accentul pe un şir convergent nu atingem limita, iar dacă considerăm o anumită limită există o multitudine de şiruri care converg spre aceasta limită. S-ar putea spune, ca şi în cazul lui Heisenberg, că şir-limită este un cuplu complementar.

 

 


Autorul articolului: Valentin Curtef
Scipedia.ro

Dacă găsiţi scientia.ro util, sprijiniţi-ne cu o donaţie.


PayPal ()
CoinGate Payment ButtonCriptomonedă
Susţine-ne pe Patreon!