Inteleg ca ne limitam la unde scalare reale,

:
Ecuatia undelor:

unde

este densitatea matrialului,

este tensiunea mecanica (astea doua marimi dau viteza de propagare a undelor),

este forta (sursa) care determina deformatiile (o putem considera zero), iar

este o constanta elastica (avem oscilatii de tip armonic).
Lagrangianul:
![L=\int_{-\infty}^{+\infty} dx \left[ \frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}T\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 - \frac{1}{2}K\psi^2 + F\psi\right]](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?L=\int_{-\infty}^{+\infty} dx \left[ \frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}T\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^2 - \frac{1}{2}K\psi^2 + F\psi\right])
Legat de pachetul de unda introdus in primul mesaj. In expresia undei planei apar

si

, ei nu sunt paramerii independenti, relatia dintre ei fiind data de mediul elastic. In general avem o relatie de dispersie
)
, se poate scrie si
)
, in cazul de fata pentru simplitate ar trebui considerata liniara

(

fiind viteza undelor).
Daca ne referim la unde scalare complexe, atunci termenii ridicati la patrat ar trebui sa devina module ridicate la patrat. Totusi, daca
=A(-k))
unda este reala.
Am recitit enuntul problemei. Cred ca initial, pentru a arata de actiunea este finita nu trebuie aleasa nici o relatie de dispersie particulara, deci impunem numai
)
.
PS: mai multe exemple de functii Lagrangiene gasesti in cartea lui Morse si Feshbach "Methods of Theoretical Physics" capitolul "Fields and the variational principle".