Am creat un topic despre aceste chestiuni şi
pe Ştiinţă.info, ocazie cu care am reuşit să postez formulele care demonstrează teorema.
Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul
n }})
care satisface formulele lui Frenet de ordinul
n scrise sub formă trigonometrică
\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right.}})
,
atunci exista încă un triedru drept de ordinul
n+1 
care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul
n+1 scrise sub forma trigonometrică
\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.}})
,
,
unde
şi
.
Demonstraţie: Din relaţiile
si
avem că
,
deci
.
Mai avem
,
de unde
.
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul
n+1 
şi obţinem
\right.}})
.
Înlocuind
si
, obţinem
\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.}})
.
Dar ştim cp, din definiţia versorilor de ordin superior, avem
,
deci
.
Cum
si
, rezultă în final
\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.}})
,
ceea ce trebuia demonstrat.
Dacă mai este cineva interesat de o discuţie pe această temă, îl aştept cu drag.
