Autor Subiect: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet (Citit de 26689 ori)

Abel Cavaşi · « : Septembrie 28, 2011, 09:25:05 p.m. »

Dat fiind faptul că problema scrierii în LaTeX este deja rezolvată şi pe acest forum, daţi-mi voie să postez şi aici, într-un topic separat, teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet pentru a vă fi supusă atenţiei.

Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia că acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrică a formulelor lui Frenet (formă despre care puteţi găsi amănunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat următoarea

Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul n ${\large{(\vec{T}_{n},\;\vec{N}_{n},\;\vec{B}_{n})}}$ care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrică

${\large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right.}}$ ,
atunci există încă un triedru drept de ordinul n+1

${\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.}}$

care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrică

${\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.}}$ ,
,
unde ${\large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}}}$ si ${\large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}}}$ .

Demonstratie: Din relaţiile
${\large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}}}$ si ${\large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}}}$
avem că

${\large{\sin\theta_{n+1}=\frac{\tan\theta_{n+1}}{\sqrt{1+\tan ^{2}\theta_{n+1}}}=\frac{\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}}{\sqrt{1+\frac{{\dot{\theta}}^{2}}{\omega_{n}^{2}}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\sqrt{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n+1}}}}$ ,
deci ${\large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}}}$ .
Mai avem ${\large{\cos\theta_{n+1}=\sqrt{1-\sin ^{2}\theta_{n+1}}=\sqrt{1-\frac{{\dot{\theta}_{n}}^{2}}{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\omega_{n}}{\omega_{n+1}}}}$ ,
de unde ${\large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}}}$ .
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul n+1

${\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}<br />\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.}}$

şi obţinem

${\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.}}$ .
Înlocuind ${\large{\dot{\vec{T}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}}}$ si ${\large{\dot{\vec{B}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}}}$ , obţinem

${\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.}}$ .
Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem

${\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.}}$ ,
deci

${\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right.}}$ .
Cum ${\large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}}}$ si ${\large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}}}$ , rezultă în final

${\large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.}}$ ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenţă, precum şi o mulţime de consecinţe ale teoremei pot fi găsite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".

Ştiu că fiecare dintre voi sunteţi ocupaţi cu o mulţime de probleme interesante, dar aş dori totuşi să-mi răspundeţi, dacă puteţi, la două întrebări importante legate de această teoremă care mi se pare cam nebăgată în seamă:

-1). Este ea corectă? Este, deci, bine formulată şi bine demonstrată?
-2). Ce fel de consecinţe credeţi că are ea pentru Fizică? Are ea vreo consecinţă valoroasă, revoluţionară?

Vă mulţumesc mult pentru efortul de a-mi răspunde!

HarapAlb · « **Răspuns #1 :** Octombrie 03, 2011, 07:44:44 p.m. »

Citat din: Abel Cavasi din Septembrie 28, 2011, 09:25:05 p.m.

-1). Este ea corectă? Este, deci, bine formulată şi bine demonstrată?

Cand calculezi $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ esti sigur ca numitorul este intotdeauna diferit de zero si ca termenul de sub radical este intotdeauna mai mare sau egal cu zero ? Ce se intampla daca nu se indeplinesc conditiile astea ? Folosind radicalul si functia arctan se pot obtine mai multe valori posibile, cum le-ai dedus ? $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ pot lua mai multe valori sau numai una ? Trebuie sa te asiguri ca toate variabilele sunt bine definite in toate cazurile posibile.

Abel Cavaşi · « **Răspuns #2 :** Octombrie 04, 2011, 02:32:40 p.m. »

Mulţumesc pentru colaborare, HarapAlb.

Citat din: HarapAlb din Octombrie 03, 2011, 07:44:44 p.m.

Cand calculezi $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ esti sigur ca numitorul este intotdeauna diferit de zero

Numitorul la care te referi pentru a-l calcula pe $\theta_{n+1}$ este $\omega_n$ . Dacă $\omega_n$ ar fi nul, atunci triedrul de ordinul n ar fi invariabil, deci ne-am situa în cazul particular trivial în care derivatele versorilor sunt toate nule. Ori, un asemenea triedru nu există (cel puţin din punct de vedere fizic) ceea ce contrazice una dintre ipotezele pe care se bazează teorema.

Citat

si ca termenul de sub radical este intotdeauna mai mare sau egal cu zero ?

Mă gândesc că (iar din punct de vedere fizic), atât $\omega_n$ , cât şi $\dot\theta_n$ sunt numere reale, deci pătratul lor este pozitiv.

Citat

Ce se intampla daca nu se indeplinesc conditiile astea ?

Obţinem rezultate care contravin realităţii fizice. Este ca şi cum ai pune cam aceleaşi întrebări în legătură cu formula de variaţie relativistă a masei.

Citat

Folosind radicalul si functia arctan se pot obtine mai multe valori posibile, cum le-ai dedus ? $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ pot lua mai multe valori sau numai una ? Trebuie sa te asiguri ca toate variabilele sunt bine definite in toate cazurile posibile.

Da, toate complicaţiile acestea pot apărea, dar numai într-un context matematic. Din punct de vedere fizic (singurul punct de vedere care mă interesează) ele nu pot apărea.

Oricum, obiecţiile formulate de tine sunt relevante, mai ales pentru matematică. Ele se rezolvă simplu prin adăugarea unor ipoteze banale în teoremă care să elimine aceste nedumeriri. De exemplu, putem adăuga (explicit) în enunţul teoremei condiţiile ca $\omega_n$ şi $\theta_n$ să aparţină mulţimii numerelor reale nenule.

Cu o asemenea adăugire, cum ai răspunde la întrebările puse?

HarapAlb · « **Răspuns #3 :** Octombrie 04, 2011, 09:04:58 p.m. »

Constructia "Teoremei de recurenta" este una pur matematica, acolo nu sunt prezentate argumente de natura fizica.

Cred ca e important ca teorema sa fie riguros formulata matematic, de fapt tu ar trebui sa cunosti lucrurile astea ca matematician. Nu stiu cum ai ajuns la relatiile de calcul ale lui $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ insa forma lor generala ar putea fi ceva de genul:

$\theta_{n+1} = \arctan\frac{\dot{\theta}_n}{\omega_n} + f(n)\pi$

$\omega_{n+1}=(-1)^{g(n)}\sqrt{\dot{\theta}_n^2+\omega_n^2}$

unde $f,g:\math{N}\rightarrow\math{Z}$

De unde stim ca alte valori decat cele indicate de tine reprezinta situatii imposibil din punct de vedere fizic ? Poate ca alegerea unei valori sau alteia depinde de n. Daca ai folosit in rationament argumente fizice pentru a deduce formulele de recurenta cred ca e important sa le prezinti.

Notatia ta pentru derivata este ciudata, in fizica derivata prin punct deasupra se foloseste pentru derivata in raport cu timpul. In formulele tale ce semnificatie are punctul deasupra variabilelor ?

Abel Cavaşi · « **Răspuns #4 :** Octombrie 05, 2011, 01:18:59 p.m. »

Citat din: HarapAlb din Octombrie 04, 2011, 09:04:58 p.m.

Constructia "Teoremei de recurenta" este una pur matematica, acolo nu sunt prezentate argumente de natura fizica.

Consider că folosirea punctului pentru derivată (semnificând, deci, derivata în raport cu timpul) denotă clar că teorema se vrea a fi una de Fizică. Cu această ocazie ţi-am răspuns cu anticipaţie şi la problema ridicată privind derivata în raport cu timpul. Oricum, nu e nicio problemă faptul că noi clarificăm (subliniem) aici despre ce este vorba.

Citat

Cred ca e important ca teorema sa fie riguros formulata matematic, de fapt tu ar trebui sa cunosti lucrurile astea ca matematician.

Ai dreptate. Dealtfel, ai văzut că teorema se poate formula şi mai riguros, cu adăugirile de rigoare şi e posibil ca formularea ei independentă de vreo condiţie fizică ar putea aduce rezultate noi utile chiar şi pentru teoria actuală a curbelor, având în vedere că şi în acel domeniu sunt încă multe necunoscute fundamentale.

Citat

Nu stiu cum ai ajuns la relatiile de calcul ale lui $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$

O schiţă a raţionamentului prin care am ajuns la aceste relaţii este evidenţiată în răspunsul pe care i l-am oferit lui Alexandru Răuţu la aceeaşi problemă.

Citat

insa forma lor generala ar putea fi ceva de genul:

$\theta_{n+1} = \arctan\frac{\dot{\theta}_n}{\omega_n} + f(n)\pi$

$\omega_{n+1}=(-1)^{g(n)}\sqrt{\dot{\theta}_n^2+\omega_n^2}$

unde $f,g:\math{N}\rightarrow\math{Z}$

Interesantă propunerea ta! Probabil, ea ar putea generaliza teorema, nu ştiu acum. Important este să înţelegem că o asemenea propunere nu este necesară (din punctul meu de vedere) pentru corectitudinea teoremei.

Citat

De unde stim ca alte valori decat cele indicate de tine reprezinta situatii imposibil din punct de vedere fizic ? Poate ca alegerea unei valori sau alteia depinde de n. Daca ai folosit in rationament argumente fizice pentru a deduce formulele de recurenta cred ca e important sa le prezinti.

Desigur. Dacă răspunsul pentru Alex nu te satisface, sunt pregătit să vin cu detalii oricât de amănunţite. Deşi cred că ar fi mai uşor dacă ai lua teorema ca atare şi ai analiza demonstraţia ei pentru a descoperi dacă am greşit ceva la calcule (în ipoteza că derivatele sunt în raport cu timpul, $\omega_n$ fiind viteza de rotaţie a triedrului de ordinul n, iar $\theta_n$ fiind unghiul pe care îl face tangenta triedrului de ordinul n cu această viteză de rotaţie).

HarapAlb · « **Răspuns #5 :** Octombrie 06, 2011, 01:01:50 a.m. »

Citat din: Abel Cavasi din Octombrie 05, 2011, 01:18:59 p.m.

Consider că folosirea punctului pentru derivată (semnificând, deci, derivata în raport cu timpul) denotă clar că teorema se vrea a fi una de Fizică. Cu această ocazie ţi-am răspuns cu anticipaţie şi la problema ridicată privind derivata în raport cu timpul. Oricum, nu e nicio problemă faptul că noi clarificăm (subliniem) aici despre ce este vorba.

Teorema e pur matematica, indiferent de notatia folosita. Daca tu crezi ca formula lui Frenet se refera la derivata in raport cu timpul uita-te in wikipedia si vei avea o surpriza

Citat

Important este să înţelegem că o asemenea propunere nu este necesară (din punctul meu de vedere) pentru corectitudinea teoremei.

Eu cred ca e necesara, cel putin o discutie in cuvinte in care sa justifici de ce ai ales valorile astea si nu altele. Formula cu arctan si introdus-o fara nici un fundament fizic si prin urmare valoarea obtinuta nu este legata de nici o semnificatie fizica, in link-ul pe care mi l-ai dat nu am gasit raspuns la intrebarea asta. Mai mult, curbura si torsiunea unei traiectorii pot fi pozitive sau negative. Ai acolo multe combinatii de semne intre cei doi parametrii fizici (curbura si torsiunea). Cum ai ales valoarea arctan-ului de zici ca e singura care are semnificatie fizica?

Citat

Deşi cred că ar fi mai uşor dacă ai lua teorema ca atare şi ai analiza demonstraţia ei pentru a descoperi dacă am greşit ceva la calcule (în ipoteza că derivatele sunt în raport cu timpul...)

Teorema nu pot lua ca atare pentru ca are lacune. Tu vrei sa verific ca ai derivat bine functiile trigonometrice ? Poate am vreo surpriza

Abel Cavaşi · « **Răspuns #6 :** Octombrie 06, 2011, 10:07:40 a.m. »

Citat din: HarapAlb din Octombrie 06, 2011, 01:01:50 a.m.

Teorema e pur matematica, indiferent de notatia folosita. Daca tu crezi ca formula lui Frenet se refera la derivata in raport cu timpul uita-te in wikipedia si vei avea o surpriza

Dacă formulele lui Frenet în forma dată de autorul lor relaţionează doar parametrii geometrici ai curbei, asta nu înseamnă că noi nu le putem folosi şi pentru a relaţiona parametrii cinematici ai mişcării pe curba respectivă. Pentru asta e suficient să presupunem că pe curba dată se poate mişca un mobil. De aici va rezulta şi că triedrul lui Frenet cu originea în mobilul respectiv se roteşte cu o anumită viteză unghiulară. Dacă crezi că pentru a verifica corectitudinea teoremei trebuie să detaliez modul în care se face această trecere, atunci voi detalia şi acest aspect, deşi teorema de recurenţă se poate scrie şi în forma simplă pentru parametrii geometrici în reprezentarea naturală.

Citat

Eu cred ca e necesara, cel putin o discutie in cuvinte in care sa justifici de ce ai ales valorile astea si nu altele. Formula cu arctan si introdus-o fara nici un fundament fizic si prin urmare valoarea obtinuta nu este legata de nici o semnificatie fizica, in link-ul pe care mi l-ai dat nu am gasit raspuns la intrebarea asta. Mai mult, curbura si torsiunea unei traiectorii pot fi pozitive sau negative. Ai acolo multe combinatii de semne intre cei doi parametrii fizici (curbura si torsiunea). Cum ai ales valoarea arctan-ului de zici ca e singura care are semnificatie fizica?

Pentru a deduce valorile respective am parcurs următorii paşi:
-1). Am ţinut seama de faptul că formulele lui Frenet ne spun (printre altele) că vectorul lui Darboux este mereu perpendicular pe normala triedrului lui Frenet.
-2). Dată fiind perpendicularitatea dintre vectorul lui Darboux şi normală, am definit un alt triedru format din versorul vectorului lui Darboux, normală şi produsul lor vectorial. (Am numit acest triedru, triedrul complementar al lui Frenet.).
-3). Am verificat dacă triedrul complementar al lui Frenet satisface şi el formulele lui Frenet.
-4). Am constatat cu mare bucurie că da, triedrul complementar al lui Frenet satisface şi el formulele lui Frenet, doar că noua „curbură” şi noua „torsiune” au o altă formă decât cea pentru triedrul lui Frenet, formă dată de relaţiile demonstrate cu teorema de recurenţă.

Citat

Teorema nu pot lua ca atare pentru ca are lacune.

Din păcate, încă nu am înţeles care sunt lacunele.

Citat

Tu vrei sa verific ca ai derivat bine functiile trigonometrice ? Poate am vreo surpriza

Exact, e posibil să fi greşit la calcule în cursul demonstraţiei, poate vreun semn sau vreo funcţie prost derivată. Ca să putem trece liniştiţi de la pasul 1) (privind corectitudinea teoremei) la pasul 2) (privind valoarea ei în Fizică).

HarapAlb · « **Răspuns #7 :** Octombrie 06, 2011, 11:27:46 a.m. »

Citat din: Abel Cavasi din Octombrie 06, 2011, 10:07:40 a.m.

Dacă formulele lui Frenet în forma dată de autorul lor relaţionează doar parametrii geometrici ai curbei, asta nu înseamnă că noi nu le putem folosi şi pentru a relaţiona parametrii cinematici ai mişcării pe curba respectivă. (...)

O formula sau un calcul care sa sustina afirmatia asta ? Nu cred ca e vorba doar de o simpla asociere sau relationare de parametrii.

Citat

-4). Am constatat cu mare bucurie că da, triedrul complementar al lui Frenet satisface şi el formulele lui Frenet, doar că noua „curbură” şi noua „torsiune” au o altă formă decât cea pentru triedrul lui Frenet, formă dată de relaţiile demonstrate cu teorema de recurenţă.

Vad ca eviti sistematic raspunsul la intrebare.
Repet, faptul ca nu exista in prezentarea ta nici un rationament noua curbura si noua torsiune le-ai fixat arbitrar (prin intermediul noilor parametri theta si omega). De ce e semnificativ fizic alegerea facuta de tine si nu formulele pe care le-am prezentat eu ?
Daca poti sa raspunzi bine, daca nu, iarasi bine. Poti sa spui pur si simplu ca nu te-ai gandit la asta pana acum, nu e nici o tragedie.

Stiu, toate problemele ridicate de mine sunt chestiuni tehnice neimportante pentru tine care esti foarte nerabdator sa ajungi la consecintele "revolutionare"

Abel Cavaşi · « **Răspuns #8 :** Octombrie 06, 2011, 01:16:54 p.m. »

Citat din: HarapAlb din Octombrie 06, 2011, 11:27:46 a.m.

O formula sau un calcul care sa sustina afirmatia asta ? Nu cred ca e vorba doar de o simpla asociere sau relationare de parametrii.

Dacă mobilul se deplasează pe curbă cu o viteză de modul v, atunci avem relaţia $\omega=v\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ . Aceasta este formula care ne dă modulul vitezei de rotaţie a triedrului lui Frenet. Direcţia şi sensul vitezei de rotaţie sunt date de vectorul lui Darboux. Unghiul $\theta$ pe care îl face tangenta triedrului lui Frenet cu vectorul lui Darboux este dat de raportul dintre curbură şi torsiune. Mai precis, $\tan\theta=\frac{\kappa}{\tau}$ . Aceste două formule fac legătura între parametrii cinematici ai curbei (adică $\omega$ şi $\theta$ ) şi parametrii săi geometrici (adică $\kappa$ şi $\tau$ ).

Citat

Vad ca eviti sistematic raspunsul la intrebare.
Repet, faptul ca nu exista in prezentarea ta nici un rationament noua curbura si noua torsiune le-ai fixat arbitrar (prin intermediul noilor parametri theta si omega). De ce e semnificativ fizic alegerea facuta de tine si nu formulele pe care le-am prezentat eu ?

Ca să nu ne mai complicăm cu nişte parametri cinematici, vom folosi doar parametrii geometrici $\kappa$ şi $\tau$ . Vrem să arătăm că şi triedrul complementar al lui Frenet (pe care îl voi numi, începând de astăzi, triedrul lui Darboux, în onoarea celui care a descoperit vectorul lui Darboux) satisface formulele lui Frenet. Pentru aceasta definim triedrul lui Darboux ca fiind dat de trei versori, primul fiind versorul vectorului lui Darboux, ce poate fi numit tangenta Darboux notat cu $\vec\Omega$ , al treilea (notat $\vec D$ ) (adică, binormala Darboux) fiind normala Frenet luată cu semnul minus şi al doilea (notat $\vec U$ ) şi numit normala Darboux fiind produsul vectorial dintre binormala Darboux şi tangenta Darboux definite anterior. Mai precis, avem că triedrul lui Darboux este definit de versorii:

- $\vec\Omega=\frac{1}{\sqrt{\kappa^2+\tau^2}}(\tau\vec T+\kappa\vec B)$ ;
- $\vec U=\vec D\times\vec\Omega$ ;
- $\vec D=-\vec N$ .

Arată-mi care sunt derivatele acestor versori în raport cu parametrul natural, iar eu îţi voi arăta că noua curbură şi noua torsiune nu se definesc arbitrar, ci se definesc în funcţie de relaţiile pe care le vei obţine tu.

HarapAlb · « **Răspuns #9 :** Octombrie 07, 2011, 01:56:07 a.m. »

De acord cu prima parte, asocierea se face printr-o schimbare de variabila.

Nu e nevoie sa rededuc relatiile deduse de tine. Le-am revazut, probabil derivatele sunt bine facute. Introducerea noilor parametri $\theta_{n+1}$ si $\omega_{n+1}$ se face prin identificarea coeficientilor prezenti in sistemul n+1 practic fiind o definitie, i.e.

$\dot{\theta}_n \equiv \omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}$

$\omega_n \equiv \omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}$

In relatiile astea marimile cu interpretare fizica directa sunt cele din membrul stang cand n=1. Pe langa solutia data de tine la sistemul de mai sus am mai putea avea una cu $\omega_{n+1}<0$ . Dar ma gandesc ca $\omega_{n+1}$ vrei sa-l interpretezi ca modulul unui nou vector Darboux si atunci impui $\omega_{n+1}>0$ .

Abel Cavaşi · « **Răspuns #10 :** Octombrie 07, 2011, 09:03:11 p.m. »

Ok. Acum că ai înţeles de unde vin relaţiile, cum ai răspunde la cele două întrebări din primul post?

HarapAlb · « **Răspuns #11 :** Octombrie 08, 2011, 12:29:05 p.m. »

1) Demostratia teoremei, cel putin aici, poate produce confuzie pentru ca lipseste discutia despre legatura dintre parametrii n si n+1, ceea ce am explicat mai sus. Intr-o lucrare stiintifica trebuie sa se spuna explicit ce si cum s-a facut pentru a nu lasa loc unor interpretari gresite.

2) Cred ca relatia de recurenta nu aduce nimic nou fizic, in sensul ca tot ceea ce se face cu triedrul lui Frenet se face teoretic cu oricare din cele n sisteme de referinta obtinute in urma transformarilor.
Transformarea de la n la n+1 pare sa fie un fel de rotatie, probabil un caz particular al rotatiei in trei dimensiuni, si atunci este normal ca sistemul n+1 sa respecte acceasi lege de variatie ca sistemul n, asta reprezentand o simpla schimbare de coordonate. Daca este o simpla schimbare de coordonate ar trebui sa existe o infinitate de astfel de sisteme. Daca nu, ar trebui cautata o legatura intre caracteristicile curbei si numarul maxim de sisteme de referinta care i se pot asocia prin transformarea indicata de tine.

Ca sa fie util practic ar trebui gasite niste situatii cand sistemul de referinta n ar conduce la niste ecuatii de miscare mai simple ca forma sau parametrii sai $\theta_n$ si $\omega_n$ ar avea o interpretare fizica simpla, sau relativ simpla.

Abel Cavaşi · « **Răspuns #12 :** Octombrie 08, 2011, 02:58:23 p.m. »

Sunt de acord cu o mare parte a spuselor tale şi îţi mulţumesc pentru răspunsuri. Voi căuta în continuare să scot ceva util din această teoremă.

Abel Cavaşi · « **Răspuns #13 :** Aprilie 01, 2014, 05:41:05 p.m. »

Am impresia că lipsa de interes pentru această teoremă derivă din faptul că nu am scos suficient în evidenţă importanţa ordinului unei traiectorii, noţiune care derivă din recurenţă. Vreau să repar aici acest handicap.

Dată fiind teorema de recurenţă, să presupunem că pentru o curbă oarecare există un număr natural k pentru care avem $\dot\theta_k=0$ . În aceste condiţii, există o dreaptă asociată curbei date! Acesta este cel mai fascinant lucru din teorema asta!

Dreapta respectivă se numeşte dreapta caracteristică a curbei, iar numărul k se numeşte ordinul caracteristic al curbei sau, mai simplu, ordinul curbei. În acest caz, curba dată se numeşte elice generalizată de ordinul k.

Abel Cavaşi · « **Răspuns #14 :** Aprilie 03, 2014, 07:06:17 a.m. »

Şi ziceţi că nu vă plac topice „grele”, precum acesta? Hmmm... Totuşi, eu mai sper...
Am scris nişte amănunte privind această elice generalizată. Eu zic că e vital pentru Fizica viitorului. Poate, totuşi, vă vor trezi interesul şi veţi lăsa certurile inutile pe acest forum.

Autor Subiect: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet (Citit de 26689 ori)

Abel Cavaşi

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

HarapAlb

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abel Cavaşi

Răspuns: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet