Continuăm traducerea noastră şi vorbim despre "adunare" şi "număr", cuvinte aparent simple, dar nu şi în contextul demonstraţiei definitive a consistenţei matematicii. Ne cufundăm deci în lumea conceptelor, pentru a înţelege ce înseamnă de fapt "număr".
"De la certitudine la incertitudine" (13)
CUM NUMĂRĂM?
Pentru a-l convinge pe Winston Smith că doi plus doi fac cinci a fost nevoie de măsura extremă a spălatului creierului. Dar, la o privire mai atentă, este adunarea atât de simplă la urma urmelor? Ştim să numărăm, dar ştim noi realmente ce înseamnă să numeri? Cum aflăm, de exemplu, mulţimea tuturor numerelor ori mulţimea tuturor fracţiilor? Între oricare două numere întregi, să zicem 3 şi 4, pot fi găsite o serie de fracţii, 3½, 3¾, 35⁄8, 311⁄12, 399⁄100 şamd. Dacă ne gândim un pic, devine limpede că între 3 şi 4 pot fi plasate o infinitate de numere fracţionale. După aceeaşi logică, există o infinitate de fracţii între 0 şi 1, o infinitate între 1 şi 2, între 2 şi 3 şamd. Bunul-simţ ne spune că dat fiind faptul că putem insera o infinitate de fracţii între două numere întregi, numărul fracţiilor trebuie să fie mult mai mare decât al numerelor întregi.
Dar aici, matematicienii vor fi bucuroşi să ne spună, bunul-simţ greşeşte. Numărul total al fracţiilor posibile este exact acelaşi cu numărul total al numerelor întregi posibile. Cum poate fi adevărat acest lucru? Pentru a afla trebuie să explorăm mai departe universul adunării. John şi Jill au fiecare câte o pungă de bomboane şi, aşa cum fac copiii, fiecare pretinde că are mai multe. Dar ei sunt atât de mici, încât atunci când ajung cu numărătoarea la cinci se încurcă şi se opresc. Decid să rezolve problema într-un alt mod. Nu mai numără, ci scot pe rând câte o bomboană din pungă, punându-le una lângă alta. Ei continuă în acest fel până una dintre pungi va fi goală. În momentul în care John termină bomboanele, Jill mai are, aşa că, deşi nu ştiu să numere, cei doi copii au lămurit cine are mai multe bomboane.
În acelaşi fel se întâmplă lucrurile şi cu numărul fracţiilor şi cel al numerelor întregi. Luăm o fracţie şi o punem pe tablă. Îi alăturăm acestei fracţii numărul întreg 1. Alăturăm următoarea fracţie cu 2 şamd. Pentru că numărul numerelor întregi este infinit, va fi mereu unul disponibil pentru o fracţie. Oricâte fracţii am "pune pe tablă", "punga" cu numere întregi nu va fi niciodată goală. Cu alte cuvinte, numărul fracţiilor şi cel al numerelor întregi este acelaşi.
Sună această concluzie ca o mică păcăleală? Pentru un nespecialist poarte părea ciudat, dar matematicienii sunt convinşi de argumentaţia de mai sus. Acest lucru arată că în matematică lucrurile nu sunt întotdeauna clare, aşa că s-ar putea să fie o ideea bună să încercăm să dovedim certitudinea afirmaţiilor matematicii.
CE ESTE UN NUMĂR?
Să începem cu ideea de "număr". Toţi putem aduna. Cu toţi ştim că 2 plus 2 egal 4. Dar ce anume este de fapt un număr? Cum putem noi defini un număr? John şi Jill au făcut o importantă descoperire despre numere şi matematică. Jill a realizat curând că poate face acelaşi lucru pe care l-a făcut cu bomboanele şi cu merele. Ea poate alătura fiecărei bomboane din pungă un măr dintr-un coş. În acest fel ea descoperă că în coş sunt tot atâtea mere câte bomboane în pungă. Ea se grăbeşte acum să alăture tot ce-i stă la îndemână: mere cu pere, bomboane cu monede, câini cu pisici, şosete cu pantofi. Aşa că, deşi Jill nu ştie să numere dincolo de 5, dacă va avea 10 bomboane, ea va şti atunci când va avea acelaşi număr de mere, bomboane, monede, pantofi etc. Ea va realiza că există un fel de "pungă mentală" pe care noi o numim "numărul zece". În această "pungă" poate fi băgat orice şi oricât, cu condiţia să fie câte zece. Pantofii, bomboanele şi merele sunt lucruri complet diferite, dar când sunt luate câte zece, ele au ceva în comun, iar acest ceva este numărul lor.
La sfârşitul secolul al XIX-lea filozofii şi matematicienii discutau exact acest lucru - definiţia numărului. Matematicianul şi filozoful Gottlob Frege este acela care a "nimerit" peste descoperirea lui Jill, definind "numărul" în termenii unor clase şi seturi. Aşa cum Bertrand Russell a arătat în "Introducere în filozofia matematicii", "Numărul unei clase este clasa tuturor acelor clase care sunt similare cu aceasta". Acest limbaj complicat ne creează dificultăţi atunci când încercăm să înţelegem care este mesajul real pe care vrea să-l transmită. În alte cuvinte, numărul unei perechi va fi clasa tuturor perechilor, iar numele acestuia este "numărul 2". Aşa cum Russell spune: "Un număr este orice care este numărul unei clase"1. Cu definiţia sa a "numărului", Frege a simţit că rezolvase o importantă problemă. Bunul-simţ nu are nicio problemă cu numerele, dar Frege reuşise să clarifice conceptul chiar la nivelul fundamentelor matematicii.
De la certitudine la incertitudine (15)
_____
Notă:
1. Bertrand Russell, Introducere în filozofia matematicii (Fairlawn, N.J.: Macmillan,1955).
Traducerea este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.
