Zi naştereSâmbătă am fost invitat la o petrecere unde au venit suporteri pasionaţi ai homeopatiei (eram singurul bizar de acolo). Erau în jur de 20-25 de persoane şi am avut uriaşă surpriză de a da peste cineva născut în aceeaşi zi cu mine (nu în acelaşi an).

Comentarii -

Metoda calcul ziua saptamaniiCunoaşteţi persoane care pot calcula în ce zi a săptămânii cade o anumită dată, din trecut sau viitor, indiferent cât de îndepărtată în timp e data respectivă? Aflaţi că pentru a vă uimi şi dumneavoastră prietenii astfel este necesar să stăpâniţi doar câteva trucuri mentale simple.

Comentarii -

Matematica distractivăRevenim astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta autorul vă invită să stabiliţi de câtă hrană are nevoie un dinozaur mai mic, ştiind cât mănâncă unul mai mare... Ca de obicei, rezultatul îl vom oferi după câteva zile.

Comentarii -

Vă prezentăm astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta autorul vă invită să stabiliţi după cât timp două trenuri, care se apropie unul de altul  cu viteze diferite, se vor întâlni. Ca de obicei, rezultatul îl vom oferi după câteva zile.

Comentarii -

Vă prezentăm astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta veţi avea un pic mai mult de muncă, pentru că trebuie să arătaţi că aria unei anumite suprafeţe este constantă. În plus, autorul vă invită să aflaţi şi cât este.

Comentarii -

Revenim astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. Vă prezentăm o problemă de perspicacitate, în care autorul vă invită să vă folosiţi puterea minţii pentru a găsi metoda potrivită  şi a depista conţinutul a trei cutii cu bile.

Comentarii -

Matematica distractivăRevenim astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de perspicacitate, în care autorul vă invită să folosiţi cartonaşe pentru a rezolva o problemă pe tabla de şah.

Comentarii -

Matematica distractivăRevenim cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de perspicacitate, în care autorul vă invită să stabiliţi cum vor reuşi doi ţărani, însetaţi, să împartă 8 litri de vin.

Comentarii -

Matematica distractivăRevenim cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de perspicacitate, în care autorul vă invită să stabiliţi modul în care călătorii urcă în vagoanele unui tren. Soluţia o vom oferi în scurtă vreme.

Comentarii -

Matematica distractivăRevenim cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de logică, în care autorul vă invită să stabiliţi ce număr urmează într-un şir constituit după o anumită logică. Soluţia o vom oferi în scurtă vreme.

Comentarii -

Matematica distractivăNe întoarcem cu matematica transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm două scurte probleme cu beţe de chibrit, în care autorul vă invită să rezolvaţi două calcule aparent simple, mutând un singur băţ. Ca de obicei, vă oferim şi soluţia în josul paginii.

Comentarii -

Matematica distractivăO nouă problemă-poezie. De data aceasta vă prezentăm o problemă interesantă având ca subiect firele de păr de pe capul... gălăţenilor. Dacă sunteţi din Galaţi, trebuie musai să vedeţi despre ce e vorba. Dacă nu, curiozitatea nu vă va lăsa pasivi.

Comentarii -

Matematica distractivăO nouă problemă-poezie, de data aceasta despre un melc rătăcit într-o fântână, care doreşte - habar nu avem de ce :) - să ajungă la lumină. Ca de obicei, puteţi să vă stoarceţi creierii în tihnă pentru a rezolva problema, dar dacă nu merge, aveţi răspunsul în partea de jos.

Comentarii -

Matematica distractivăIată o metodă interesantă de a face matematica atractivă şi distractivă, prin intermediul poeziei. Începând de astăzi vă vom oferi regulat o serie de poezii scrise de matematicianul şi scriitorul Petre Rău. Prima poezie este despre paradoxul lui Zenon.

Comentarii -

Zenon a fost un filozof grec presocratic, din sudul Italiei, membru al şcolii filozofice din Elea, întemeiată de Parmenide. Vă prezentăm în acest articol trei din cele mai cunoscute patru paradoxuri ale lui Zenon, unele dintre cele mai faimoase, mai durabile, mai şocante şi mai interesante paradoxuri, formulate de filozoful eleat în anul 450 î.Hr.

 

Zenon din Elea

Filozoful grec Zenon, discipol al lui Parmenide, a trăit în secolul al cincilea î. Hr. şi ne-a lăsat moştenire câteva paradoxuri foarte profunde a căror rezolvare ne invită să medităm asupra noţiunilor de infinit şi de mişcare. A fost numit de Aristotel fondatorul dialecticii (formă veche de găsire a adevărului, cunoscută şi drept arta interlocuţiunii).


Zenon a formulat mai multe raţionamente, cunoscute ca "Paradoxurile lui Zenon", pentru  a susţine ideile mentorului său Parmenide despre numere sau despre mişcare. Paradoxurile sunt argumente aparent corecte care duc la concluzii ce sunt în mod evident false. Provocarea este de a se descoperi ce anume s-a greşit în aceste raţionamente. Nici una dintre scrierile lui Zenon nu a ajuns în mod direct la noi, ci doar povestite şi repovestite de alţi filozofi greci. În acest articol vom enumera, după cum am menţionat şi la începutul articolului, pe cele mai cunoscute trei dintre acestea.

 

Primul paradox

Argumentul încearcă să demonstreze că mişcarea dintr-un punct în altul este imposibilă. Un om pleacă de la borna ce indică 0 km la borna ce indică 1 km. Zenon spune: Ca să parcurgă această distanţă de un kilometru, omul parcurge mai întâi jumătate de kilometru (adică jumătate din distanţa totală), apoi jumătate din distanţa rămasă, apoi jumătate din distanţa care i-a mai rămas şi tot aşa, astfel că niciodată nu va ajunge la final, pentru că această diviziune ar putea exista la infinit. Încerca astfel Zenon să refuze ideea că există infinitul cu adevărat?

 



Al doilea paradox

Cel de-al doilea paradox al lui Zenon, "Ahile şi broasca ţestoasă", încearcă să demonstreze concluzia conform căreia cel care aleargă mai repede nu îl va întrece niciodată pe cel care aleargă mai încet. Aceasta va fi susţinută şi de Aristotel în "Physica" două secole mai târziu. Să ne imaginăm o întrecere între celebrul atlet Ahile și un rival mai lent, transformat de legendă într-o broască ţestoasă (la acea vreme broasca ţestoasă era simbolul înţelepciunii). Să presupunem că Ahile are o viteză de două ori mai mare decât cea a ţestoasei. Ţestoasa are un avans de 1 km faţă de Ahile (acesta plecând din origine). Oricine va trage concluzia că peste 2 km Ahile va ajunge ţestoasa.

Folosindu-se de paradoxul prezentat anterior, Zenon ne spune altceva: când Ahile ajunge la 1 km, ţestoasa a ajuns la 1 km şi jumătate, iar când Ahile ajunge la 1 km şi jumătate, broasca a ajuns la 1 km şi trei sferturi şi aşa mai departe, astfel că niciodată Ahile nu va reuşi să întreacă broasca ţestoasă.

 

Ahile si testoasa (1)

Ahile si testoasa (2)
Ahile si testoasa (3)

Diagrame ce reprezintă acest paradox al lui Zenon, Ahile şi broasca ţestoasă.
Credit: http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/achill/achill_en.htm
.

 

Al treilea paradox

Al treilea paradox, cunoscut ca fiind "paradoxul săgeţii", ne spune că o săgeată aflată în mişcare între punctele A şi B nu se află la un moment dat nici în punctul A, pentru că a plecat de acolo, nici în punctul B, că n-a ajuns încă acolo. Dacă reduci distanţa AB la lungimea săgeţii, înseamnă că săgeata este, de fapt, în repaus. Cum concluzia este evident falsă, este vorba de un paradox din domeniul logicii.

 

Concluzie

Motto: "În timp ce există indicii subtile despre infinit în lucrurile pe care le facem şi le vedem, există de asemenea şi paradoxuri profunde ce se află foarte aproape de suprafaţa lucrurilor" (Sir John D. Barrow).

Paradoxurile sunt în strânsă legătură cu ceea ce noi numim infinit, temă ce i-a provocat deopotrivă pe teologi și pe oamenii de ştiinţă, care încearcă să hotărască dacă îl acceptăm sau îl respingem. Există infinit în natură sau reprezintă doar un număr foarte mare? Este real sau este doar ceva teoretic, este „prescurtarea” pentru nemărginit, pentru foarte mare sau foarte mic? Albert Einstein spunea: "Două lucruri sunt infinite: Universul și prostia umană, însă nu sunt sigur în legătură cu primul".

În această lume capricioasă, nimic nu este mai capricios decât faima postumă. Una din victimele cele mai remarcabile ale lipsei de judecată a posterităţii este eleatul Zeno. După ce a inventat patru argumente, toate nemăsurat de subtile şi de profunde, majoritatea filozofilor care i-au urmat au spus despre el că este numai un şarlatan ingenios şi că argumentele sale nu sunt decât nişte sofisme. După două mii de ani de respingere continuă, aceste sofisme au fost repuse în drepturi, devenind temelia unei renaşteri a matematicii prin tratarea conceptului de infinit...

 

Puteţi afla mai multe despre filosoful grec Zenon din Elea de pe Wikipedia. O listă completă a paradoxurilor lui Zenon o găsiţi la adresa Enciclopediei de Filozofie de la Universitatea Stanford.

 

Comentarii -

Există o metodă foarte simplă pe care o puteţi folosi pentru a ridica la pătrat numere mari, care au 5 la final. Să luăm următorul exemplu: 852. Rezultatul este 7225 şi poate fi calculat în câteva secunde, fără nicio bătaie de cap. Cum? Iată metoda:

Ultimele două cifre ale rezultatului vor fi mereu 2 şi 5. Deci orice înmulţire de genul a5xb5 va avea ultimele două cifre 25.

Primele două cifre rezultă din înmulţirea dintre prima cifră (8) şi cifra cu unu mai mare (9), deci 8x9=72.

 

Iată câteva exemple:

652 = 4225.
După cum am stabilit, 25 rezultă din înmulţirea 5x5 şi este mereu prezent la finalul înmulţirilor numerelor cu 5 la final. 42 rezultă din înmulţirea dintre primul număr (6) şi numărul mai mare cu unu decât acesta (7): 6x7=42.

 

952 = 9025.
5x5=25, iar 9x10=90.

 

Comentarii -

Tabla înmulţiriiEi bine, titlul nu descrie pe deplin situaţia. În fapt este vorba despre un truc ce ajută la efectuarea înmulţirilor, atunci când se cunoaşte înmulţirea până la 5x5. Odată cunoscută prima parte a tablei înmulţirii, calculele mai grele pot fi rezolvate uşor prin trucul detaliat aici.

Comentarii -

Matematica distractivăSă spunem că trebuie să adunaţi rapid, în minte, mai multe numere consecutive, de pildă 5 + 6 + 7 + 8. Această adunare poate fi făcută după metoda clasică, adunând primul număr cu al doilea, rezultatul cu al treilea ş.a.m.d. Dar ce facem în cazul seriilor mai lungi?

Comentarii -

 

Matematica distractivăRegulile de mai jos nu sunt, desigur, pentru adulţi, ci pentru elevii din clasa întâi, în cazul adunării şi din clasa a II-a, în cazul înmulţirii. Pentru aceştia, credem, regulile de mai jos se pot constitui în instrumente utile pe care le pot folosi în rezolvarea rapidă a adunării şi a înmulţirii cu 9.

Desigur, am scris acest articol pentru părinţii care, citind aceste reguli, pot veni în ajutorul copiilor lor prin explicarea acestor modalităţi de a face rapid calcule.

 

Adunarea cu 9

9 + 5 = 14

Regula: orice număr dintr-o singură cifră adunat cu 9 va fi format din 1 şi numărul mai mic  cu 1 decât pe care-l adunaţi cu 9. Din experienţă, copilul de 6, 7 ani va pricepe uşor această regulă prin exemple repetate. Dacă îi veţi explica trucul şi atât, probabil că nu veţi avea niciun succes.

La unii copii funcţionează bine această regulă şi aplicată adunării cu 8, explicându-le că trebuie să scadă 2 din numărul pe care-l adună cu 8. Li se pare mai simplu - şi este - să scadă 2 din 7 (numărând înapoi), decât să adune, se spunem, 8 + 7.

 

 

Înmulţirea cu 9

9 x 6 = 54

Regula: orice număr înmulţit cu 9 va da un număr format din numărul mai mic cu unu decât cel cu care este înmulţit 9 şi numărul care reprezintă diferenţa dintre 10 şi numărul cu care este înmulţit 9. Regula nu mai este valabilă atunci când e vorba de numere mai mari decât 9.

Exemple:

9 x 6 = 54

5 - pentru că este mai mic cu 1 decât 6, şi 4 pentru că 10-6=4.

----------------

9 x 7 = 63

6 - pentru că este mai mic cu 1 decât 7, şi 3 pentru că 10-7=3.

 

Comentarii -

Deşi înmulţirea în minte a unui număr oarecare format din două cifre cu 11 nu este chiar o sarcină dificilă, există o metodă foarte rapidă pentru a face acest lucru. Pentru ca înmulţirea rapidă să dea rezultate corecte, este nevoie ca numărul pe care-l înmulţiţi cu 11 să fie format din două cifre.


Deşi înmulţirea în minte a unui număr oarecare format din două cifre cu 11 nu este chiar o sarcină dificilă, există o metodă foarte rapidă pentru a face acest lucru. Pentru ca înmulţirea rapidă să dea rezultate corecte, este nevoie ca numărul pe care-l înmulţiţi cu 11 să fie format din două cifre.

Să luăm un exemplu: 63*11.
Regula este următoarea: se adună cele două cifre ce formează numărul (în cazul nostru, 6+3=9), se aşază acest număr între cele două cifre ale numărului, adică între 6 şi 3 (vom avea 693) şi astfel am aflat rezultatul înmulţirii!

Alt exemplu: 54*11=5(5+4)4=594


Dar ce facem în cazul în care suma celor două cifre este mai mare decât 9? În acest caz adăugăm 1 la cifra din stânga a numărului, astfel:

67*11=6!(6+7)7=6!(13)7=737

 

+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă ++

Comentarii -

Iată un truc cu ajutorul căruia, folosind matematica, vă veţi putea impresiona prietenii cu abilităţile dumneavoastră de ghicitor. Înainte să explicăm trucul, să-l experimentăm împreună. Aşadar:

Comentarii -

Calculul factorial... De acord, este o chestiune simplă pe care mulţi elevi o stăpânesc pentru că o folosesc la şcoală. Dar scopul acestui articol nu este să creeze matematicieni, ci doar să reamintească celor care au uitat ce este factorialul, cum se calculează şi la ce foloseşte.

Comentarii -

Iată un lucru interesant care se întâmplă atunci când înmulţim numere identice. Să înmulţim de exemplu 12*12. Dacă păstrăm suma celor două numere, adică 24, dar scădem unu din partea stângă a înmulţirii şi îl adunăm în dreapta, vom avea următorul şir de înmulţiri

Comentarii -

Caracteristica cea mai evidentă a sistemului nostru de numeraţie este folosirea bazei 10. Numărăm în unităţi de câte zece. Această bază a fost aleasă de multe culturi, dar şi alte baze sunt posibile şi uzitate, ca de exemplu baza 2, folosită de computere. De ce folosim baza 10?


 

+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++

Caracteristica cea mai evidentă a sistemului nostru de numeraţie este folosirea unei baze de zece. Numărăm în unităţi de câte zece. Această bază a fost aleasă de multe culturi, dar şi alte baze sunt posibile şi uzitate, ca de exemplu baza 2, cea folosită de computere. De ce folosim baza 10? Cel mai probabil pentru că avem 10 degete şi degetele sunt instrumente utile pentru efectuarea unor calcule simple, uneori suficiente pentru rezolvarea unor probleme cotidiene, cum ar fi comerţul cu mult timp în urmă.

Nu numai că alte baze sunt posibile, dar sunt cunoscute culturi care folosesc ori au folosit alte baze. De pildă, în America există un sistem de numeraţie indian ce foloseşte baza 8. Măsurăm timpul în seturi de 60, 60 de secunde pentru un minut, 60 de minute pentru o oră.

Să numărăm în baza 2...

Dar ce înseamnă să numărăm în baze diferite? Să luăm de pildă baza 2. Dacă în baza zece folosim 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 şi 9, în baza 2 vom folosi doar 2 cifre: 0 şi 1. Cum va arăta numărarea folosind doar 2 cifre? Iată:

0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
şamd.

Cum stabilim echivalenţa între baza 10 şi baza 2?

1 în baza 10 este 1 în baza 2
2 în baza 10 este 10 în baza 2
3 - 11
4 - 100
5 - 101
6 - 110
7 - 111
8 - 1000
9 - 1001
10 - 1010 şamd.

Cum facem să transformăm rapid un număr din baza 2 (ex: 111010) în baza 10? Folosim următoarea regulă:

a*2n+...+ a*27 + a*26 + a*25 + a*24 + a*23 + a*22 + a*21 + a*20 ,

unde a este 0 sau 1.


Având numărul de mai sus, 111010, şi făcând înlocuirile necesare vom obţine:

1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = 32 + 16 + 8 + 0 + 2+ 0 = 58.
Aşadar, numărul 111010 în baza doi este 58 în baza 10.

 

Pentru a transforma un număr din baza 10 în baza 2, folosim aceeaşi reţetă, dar numai că în sens invers. Să zicem că veţi să transformaţi numărul 14 din baza 10 în baza 2. După cum aţi observat, formula foloseşte cifra 2 la diferite puteri. În prima instanţă căutăm să observăm 2 la ce putere  va da un număr mai mic sau egal cu numărul nostru. Observăm că 24 este 16, deci prea mare. În schimb 23 este 8, prin urmare vom pune 1 în locul acelui a din formulă care se află lângă 23. Mai avem să completăm diferenţă de la 8 la 14, deci vom pune 1 şi în locul acelui a de lângă 22, având acoperit 12 (8 + 4) din 14. Diferenţa de la 12 la 14 o completăm punând 1 în locul acelui a de lângă 21. Pentru că deja numărul 14 este completat, vom pune 0 lângă 20.

14 = 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 8 + 4 + 2 + 0

Extrăgând cifrele (0 sau 1) cu care am înlocuit a-urile din formula noastră, vom obţine: 1110, care în fapt reprezintă numărul 14 trecut din baza 10 în baza 2.

 

 

Să numărăm în baza 8

Dacă în baza 10 folosim cifrele de la 0 la 9, în baza 8 vom folosi cifrele de la 0 la 7. Până la 7, numărarea în cele 2 baze va coincide. După 7 lucrurile se schimbă:

8 (în baza 10)  este 10 (în baza 8),
9 (10) este 11 (8),
10 (10) este 12 (8) şamd.

 

Echivalenţă între baza 10 şi baza 8
BAZA 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
BAZA 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21

 

Să numărăm în baza 16 (sistemul hexazecimal)

Lucrurile sunt puţin diferite când este vorba despre o bază mai mare decât baza 10 cu care suntem obişnuiţi. Practic nu avem cifre suficiente pentru a le folosi în baza 16. Soluţia? Folosim litere. Aşadar, semnele folosite pentru a număra în baza 16 sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Prin urmare, dacă 12 din baza 10 va fi C, 17 din baza 10 va fi 11, 20 din baza 10 va fi 14.

 

Echivalenţă între decimal, hexazecimal şi binar
DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
HEXA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
BINAR 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111



Pentru a face exerciţii de transformare dintr-o bază în alta, vizitaţi acest site.

 

+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++

Comentarii -

Ce vrem să facem este să ridicăm la pătrat (ori să înmulţim cu sine însuşi) un număr ce se termină cu cifra 5, ca de exemplu 45 ori 85 ori 125. Desigur, există calea folosirii calculatorului, a unui creion şi a unei bucăţi de hârtie ori, pentru cei mai versaţi în ale calculelor, efectuarea înmulţirii în minte.

Comentarii -