Scientia

Vă prezentăm astăzi cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta veţi avea un pic mai mult de muncă, pentru că trebuie să arătaţi că aria unei anumite suprafeţe este constantă. În plus, autorul vă invită să aflaţi şi cât este.

Arie integrală

X pătrat plus x ori a
Egalat cu minus b
Este-o ecuaţie
Cu două rădăcini
Reale,
Între care
Sunt cuprinse
Numerele a şi b,
Arătaţi că aria
Suprafeţei dată de
Perechile de puncte
a şi b
E constantă,
Dar cât e ?

I-aţi dat de cap? De credeţi că da, scrieţi un comentariu cu răspunsul!
Dacă nu, aveţi răbdare, în scurt timp vi-l vom oferi noi.
Comentariile vor fi publicate în 2-3 zile, în momentul în care vom oferi răspunsul.

........................................................................................

Update: 15.06.2011

Condiţia ca atât a cât şi b să se găsească între rădăcinile reale ale ecuaţiei f(x) = x² + ax + b = 0 este dată de relaţiile: f(a) < 0 şi f(b) < 0. Se obţine astfel următorul sistem de inecuaţii:
2a² + b < 0
b(a+ b + 1) < 0
a² - 4b >= 0

Prima inecuaţie ne îndreptăţeşte să afirmăm că b < 0.
Rămâne deci să determinăm conturul unei suprafeţe şi aria acestui contur, mărginit de curbele care intră în sistemul următor:
2x² + y < 0
x + y + 1 > 0
x² - 4y >= 0

După reprezentarea grafică a parabolelor de ecuaţii:
y = -2x²,
y = x²/4 şi a dreptei de ecuaţie
x + y + 1 = 0

pe acelaşi sistem de axe rectangulare, găsim ca soluţie a sistemului de inecuaţii un contur mărginit superior de parabola y = - 2x² şi interior de dreapta x + y + 1 = 0. Punctele de intersecţie a acestor curbe sunt: A(-1/2, -1/2) şi B(1, -2). Aria suprafeţei căutate este aflată cu ajutorul integralei şi ca este egală cu 9/8.