Scientia

Supermatematica s-a născut din efortul milenar şi disperat al omului de-a modela lumea aşa cum este ea: complexă şi neliniară, nu liniară şi simplistă. Supermatematica este împlinirea visul matematicienilor de-a avea o infinitate de matematici şi de-a opera cât mai simplu cu ele.

Acest vis a devenit realitate în 1978 prin publicarea lucrării "Funcţii circulare excentrice" în care se arăta ca fiecărui punct E(e,) din planul cercului trigonometric, denumit excentru, îi corespunde o matematică. Supermatematica multiplică la infinit toate funcţiile trigonometrice cunoscute, toate obiectele şi formele matematice cunoscute şi pe care acum suntem obligaţi să le denumim centrice şi introduce funcţii, forme şi obiecte matematice noi, denumite excentrice, deosebit de utile pentru ştiinţa şi pentru tehnică.

Descoperirea trecerii de la centric la excentric în matematică este, fără exagerare, similară trecerii de la geocentric la heliocentric în cosmogonie; ambele domenii beneficiind de saltul uriaş de la unu la infinit. Înlocuindu-se, de exemplu, în ecuaţiile parametrice ale diverselor curbe cunoscute ca cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă s.a., pe care le numim centrice, funcţiile trigonometrice centrice cos, sin ş.a. cu cele excentrice cex, sex, ş.a. se obţine câte o altă formă de curbă , denumită excentrică, pentru fiecare poziţie posibilă a excentrului E în plan. Se vor obţine o infinitate de excentrice circulare, eliptice, hiperbolice s.a.m.d. şi pentru e = 0 se va obţine o curbă generatoare, centrică de la care s-a plecat.

Mircea Eugen Şelariu

Se deduce că matematica centrică este un caz particular, de excentricitate nulă, a supermatematicii şi că supermatematica are dimensiune topologică 2 în timp ce matematica centrică are numai dimensiunea topologică zero, a unui punct ( E  O  C ). În plus, la funcţii noi se obţin o infinitate de forme 2D sau 3D noi dintre care amintim obiectele geometrice hibride: cono-piramida, care începe ca o piramidă cu bază un pătrat şi se termină ca un con circular drept, obţinută prin transformarea continuă a cercului în pătrat cu funcţia dex, ţeava cilindro-pătrato-triunghiulară la care, pe lângă transformarea anterioară, se adaugă şi transformarea continuă a cercului în triunghi cu ajutorul funcţie cex s.m.a. care stau la baza unei noi metode de reprezentare a pieselor tehnice denumită SM-CAD / CAM şi care permite desenarea pur (super)matematică a oricărei piese tehnice (v. casa şi avionul). Cu avantajele majore care derivă din această acţiune şi care se referă la o enormă economisire de memorie; memorându-se doar expresiile matematice ale formei piesei şi nu imensitatea de puncte (pixeli) ce o alcătuiesc.

Aceste complemente noi de matematici, reunite sub denumirea de supermatematică, sunt unelte sau instrumente deosebit de utile, demult aşteptate, dovada fiind numărul mare şi diversitatea funcţiilor periodice introduse în matematică şi modul, uneori complicat, de a se ajunge la ele. Pentru obţinerea unor funcţii speciale şi periodice noi, s-a încercat înlocuirea cercului trigonometric cu pătratul sau cu rombul, aşa cum a procedat fostul şef al Catedrei de Matematică de la Universitatea POLITEHNICA" din Timişoara, profesorul universitar timişorean Dr. mat. Valeriu Alaci, descoperind funcţiile trigonometrice pătratice şi rombice.

Apoi, profesorul de matematici Eugen Visa a introdus funcţiile pseudo-hiperbolice, iar profesorul de matematici M.O. Enculescu a definit  funcţiile poligonale, înlocuind cercul cu un poligon cu n laturi; pentru n = 4 obţinând funcţiile trigonometrice pătratice Alaci.

Matematicianul sovietic Marcusevici a introdus funcţiile trigonometrice generalizate şi funcţiile trigonometrice lemniscate. Încă din anul 1877 matematicianul german Dr. Biehringer, substituind triunghiul dreptunghic cu unul oarecare, a definit funcţiile trigonometrice înclinate.

Savantul englez de origine romană ing. George Constantinescu a înlocuit cercul cu evolventa şi a definit funcţiile trigonometrice româneşti: cosinus românesc şi sinusul românesc, exprimate de funcţiile Cor şi Sir cu care a soluţionat exact unele ecuaţii diferenţiale neliniare ale teoriei sonicităţii creată de el.

Supermatematica putea fi demult descoperită dacă, la exprimarea funcţiilor trigonometrice ca funcţii circulare, Euler n-ar fi luat trei puncte confundate: centrul C al cercului trigonometric, originea O a unui reper cartezian drept şi polul E al unei semidrepte variabile. Dacă O C E se obţin funcţiile supermatematice ( FSM ) circulare excentrice (FCE). Dacă C O  E se obţin FSM circulare elevate (FCEl), iar dacă toate cele 3 puncte sunt distincte se obţin cele mai generale FSM denumite FSM circulare exotice ( FCEx).

Toate aceste familii de funcţii s-au dovedit deosebit de utile la soluţionarea unor probleme de complexitate foarte ridicată ca, de exemplu, exprimarea sub formă trigonometrică a sumei şi a diferenţei numerelor complexe, soluţionarea exactă a unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili, dar şi găsirea soluţiilor unor sisteme oscilante mecanice de caracteristică elastică neliniară, din care pentru e = 0 ( dar şi pentru e = 1) se obţin soluţiile sistemelor liniare.

Supermatematica survolează spaţiile superioare ale tuturor disciplinelor ştiinţifice şi tehnice şi produce la baza lor un tzunami (solitoni ) care sfidează şi spulberă graniţele dintre ele. SM ne apropie cel mai mult de acceptarea cercului şi a sferei ca simbol al plenitudinii desăvârşirii.

La 3 noiembrie 1823 Janos Bolyay scria la Timişoara : "Din nimic am creat o nouă lume". Cu aceste cuvinte a anunţat descoperirea formulei fundamentale a primei geometrii neeuclidiene. Tipic descoperirilor de până acum, afirma savantul anglo-sovietic Kapitza, este că valoarea lor este recunoscută după 20...30 de ani. În România această perioadă este cu mult mai lungă . Noi am aşteptat peste 30 de ani, timp în care SM s-a îmbogăţit cu FSM circulare şi hiperbolice, elevate şi exotice, de excentru E punct fix sau punct variabil ce evoluează pe o anumită curba după anumite legi, cu FSM de variabilă centrica, cu FSM de dublă excentricitate şi de excentricitate multiplă, precum şi cu o pleiadă de aplicaţii dintre cele mai importante, dacă e să amintim doar SM-CAD / CAM şi haosul excentric al prof. dr. mat. Em Petrişor. În acest domeniu sunt publicate peste 33 de lucrări scrise de peste 8 autori.

Cum s-au descoperit matematica excentrică (ME) şi supermatematica (SM)

Ocupându-ne de determinarea experimentală a amortizărilor, provenite de la cuplele cinematice arbore principal – pană – roată dinţată, ale strungurilor universale, în ideea de a mări aceste amortizări şi a diminua amplitudinile de vibraţii la torsiune ale maşinilor-unelte, măsurările experimentale au eşuat, datorită prezenţei şi a altor amortizări, mult mai puternice, provenite de la standul de încercare, pe de o parte, iar, pe de altă parte, datorită puternicelor neliniarităţi ale cuplei cinematice arbore-stand. Astfel, a apărut necesitatea realizării unui studiu teoretic al unor sisteme elastice neliniare, în cadrul grupei de Vibraţii ale Maşinilor-Unelte, condusă de dr. Ing Wolfgang Buhler, de la Catedra de Maşini-Unelte a Prof. Dipl.-Ing. Karel Tuffentsammer de la Universitatea din Stuttgart, în care autorul a activat în perioada 1969-1970 cu o bursă DAAD.

Funcţiile supermatematice

Funcţiile, care stau la baza generării obiectelor mai tehnice şi, deci, mai puţin artistice, neogeometrice, sunt denumite funcţii supermatematice (FSM).

Aceste funcţii sunt rodul a 38 de ani de cercetări, începute în 1969 la Universitatea din Stuttgart, timp în care au fost publicate peste 42 de lucrări în acest domeniu, scrise de peste 19 autori.

Denumirea aparţine regretatului matematician Prof. em. dr. doc. ing. Gheorghe Silas care, la susţinerea primei lucrări din acest domeniu, la Prima Conferinţă Naţională de Vibraţii în Construcţia de Maşini, Timişoara, 1978, intitulată « FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE » a declarat: « Tinere, dumneata n-ai descoperit numai « nişte funcţii » ci o nouă matematică, o supermatematică » M-am bucurat, la cei 40 de ani, ca un adolescent. Şi am constatat cu multă satisfacţie că s-ar putea să aibă dreptate !

Prefixul super se justifică astăzi, pentru a scoate în evidenţă apariţia noilor complemente de matematică, reunite sub denumirea de matematică excentrică (ME) cu entităţi mult mai importante şi infinit mai numeroase decât entităţile existente în actuala matematică, pe care suntem obligaţi s-o denumim matematica centrică (MC).

Fiecărei entităţi din matematica centrică îi corespund o infinitate de entităţi similare în matematică excentrică, astfel că supermatematica (SM) este reuniunea celor două domenii; MC este un caz particular, de excentricitate nulă, a ME. 

Beneficiile pe care SM le aduce, în ştiinţă şi în tehnologie, sunt mult prea numeroase pentru a fi etalate aici. Dar ne face o deosebită plăcere să amintim că SM şterge graniţele dintre liniar şi neliniar; liniarul aparţinând MC, iar neliniarul fiind apanajul ME, ca şi dintre ideal şi real, sau dintre perfecţiune şi imperfecţiune.

Se afirmă că Topologia este o matematică în cadrul căreia nu se face deosebire între un covrig şi o ceaşcă. Ei bine, supermatematica nu face distincţie între un cerc şi un pătrat perfect, între un cerc şi un triunghi perfect, între elipsă şi un dreptunghi perfect, între sferă şi un cub perfect ş.a; cu aceleaşi ecuaţii parametrice obţinându-se atât formele ideale ale MC (cerc, elipsă, sferă s.a), cât şi cele reale (pătrat, dreptunghi, cub ş.a.).

Aplicaţiile supermatematicii în informatică şi în programare:

1. Dezvoltarea unui nou procedeu denumit SM-CAD/CAM, de generare şi vizualizare a suprafeţelor pieselor tehnice şi de programare a generării lor pe maşini-unelte cu CNC. Procedeul se bazează pe facilităţile pe care le asigură supermatematica la definirea numerică a suprafeţelor complexe denumite anterior descoperirii funcţiilor supermatematice suprafeţe "nematematice" (v. procedeul UNISURF a lui P. Bezier de definire numerică a acestor suprafeţe). Prin saltul de la unu la infinit realizat de supermatematică, aproape toate suprafeţele "nematematice" devin matematice, sau, mai precis, supermatematice.
2. Realizarea unor programe de reprezentare şi simulare a unor mecanisme mecanice şi a mărimilor cinematice şi dinamice ale acestora.
3. Realizarea unor programe de simulare a cinematicii şi a mărimilor dinamice ale oscilaţiilor sistemelor mecanice neliniare.
4 Realizarea unui program de proiectare a camelor cu funcţiile supermatematice pentru îmbunătăţirea calităţii mişcării (mărirea cronosecţiunii, de exemplu, fără transformări proiective) şi reducerea acceleraţiilor maxime. O astfel de camă echipează deja o maşină de îndreptat bare şi de sudat plase de sârmă, fabricată de S.C. Electrotimis din Timişoara, la care alte tipuri de came au dat greş.

SM nu este o lucrare încheiată, ci abia o introducere în acest domeniu vast, un prim pas, un pas mic al autorului şi un pas uriaş al matematicii.

Articolul reprezintă selectarea şi punerea împreună, sperăm cât mai omogenă, a unor paragrafe dintr-o serie de lucrări ale profesorului Mircea Eugen Şelariu despre supermatematică.

Mircea Eugen Şelariu este cercetător principal 3 la Institutul Naţional de Cercetare-Dezvoltare pentru Electrochimie şi Materie Condensata din Timişoara şi deţine cinci brevete de invenţie.

Pentru mai multe detalii privind supermatematica, puteţi vizita site-ul d-lui Mircea Eugen Şelariu, supermatematica.ro, unde puteţi citi online atât cartea Supermatematica (în două volume), cât şi un album cu reprezentări ale funcţiilor supermatematice.