Teorema fundamentală a aritmeticii

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Adrian Olteanu

Vineri, 25 Martie 2011 10:49

Teorema fundamentală a aritmeticii, cunoscută şi sub numele de teorema factorizării unice afirmă că orice număr natural $n\ge 2$ se descompune în factori primi în mod unic, exceptând ordinea factorilor.

Vom demonstra existenţa descompunerii pentru $n\in N,n\ge 2$ . Pentru n=2, afirmaţia este adevărata deoarece 2 este prim. Presupunem că pentru orice număr $2\le l\le k,l$ se descompune în factori primi şi demonstrăm pentru k+1. Dacă k+1 este prim, afirmaţia are loc. Dacă k+1 este compus, atunci $k+1=a\cdot b$ , unde $2\le a\le k,2\le b\le k$ şi, conform ipotezei de inducţie, $a=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_r, b=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_s$ cu p_i,q_j prime, deci $k+1=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_r\cdot q_1\cdot ...\cdot q_s$ .

Trecem la demonstrarea unicităţii descompunerii lui n. Fie $n=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_t$ şi $n=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v$ două factorizări ale lui n, cu p_i,q_j prime. Vom arăta că t=v şi eventual după o reindexare a factorilor, p_i=q_i . Din $p_1|q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v$ avem că p_1 divide un anumit a_i . Fără a restrânge generalitatea, considerăm că p_1|q_1 deci p_1=q_1 . Aceasta conduce la $p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_t=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v$ sau $p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_t=q_2\cdot q_3\cdot ...\cdot q_v$ . Raţionând analog, dacă $t\le v$ ajungem la egalitatea p_t=q_t...q_v . Cum p_t,q_t,...,q_v sunt prime, rezultă t=v şi p_t=q_t .

Observaţie. Când se cunosc descompunerile în factori primi a două numere naturale a şi b, $a\ge 2,b\ge 2,d=(a,b)$ se poate determina ca fiind $max(A\cap B)$ , unde $A=\{x\in N|x|a\}$ şi $B=\{y\in N|y|b\}$ , adică se aleg factorii comuni ai lui a şi b la puterea cea mai mică după care se înmulţesc.

Bibliografie: Solomon Marcus, Petruş Alexandrescu, Analiză matematică şi algebră, editura Nomina.

Citeşte şi:

Teorema lui Wilson (25-03-2011) Conjectura lui Andrica (25-03-2011) Centrul unui grup (26-03-2011) Inducţia matematică - aplicaţii (15-03-2011) Introducere în inducţia matematică (15-03-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII