Conjectura lui Andrica

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Adrian Olteanu

Vineri, 25 Martie 2011 10:48

În lucrarea "Note on a conjecture in prime number theory", din 1986, matematicianul român Dorin Andrica de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj-Napoca, a emis următoarea ipoteză:

Spirala Ulam - spirala numerelor prime
Credit: http://www.cs.unh.edu

Conjectura lui Andrica: Dacă p_n este al n-lea număr prim pozitiv, atunci $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1$ pentru orice $n\in N^*$ .

Valabilitatea afirmaţiei a fost dovedită cu ajutorul calculatorului pentru toate numerele prime mai mici ca $2^{53}$ (I. Ghory, în 2000).

Conjectura lui Andrica conduce la verificarea conjecturii lui Legendre şi postulatului lui Bertrand.

Conjectura lui Legendre: Între oricare două pătrate perfecte consecutive există cel puţin un număr prim.

Să presupunem că există pătratele perfecte $a^2,(a+1)^2,a\in N^*$ între care nu există niciun număr prim. Fie p_m cel mai mare număr prim cu proprietatea p_m(a+1)^2 . Atunci $\sqrt{p_m}a+1$ , prin urmare $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}>a+1-a=1$ , ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.

Postulatul lui Bertrand: Pentru orice număr natural $n\ge 2$ , în intervalul (n,2n) există cel puţin un număr prim.

Presupunem că există un număr natural $n\ge 2$ astfel încât în intervalul (n,2n) nu există niciun număr prim. Putem presupune $n\ge 6$ , deoarece pentru $n\in \{2,3,4,5\}$ postulatul lui Bertrand se verifică. Notând cu p_k cel mai mare număr prim cu proprietatea $p_k\le n$ , datorită presupunerii făcute vom avea $p_{k+1}>2n$ . Atunci $\sqrt{p_k}\le \sqrt{n},\sqrt{p_{k+1}}>\sqrt{2n}$ , prin urmare:

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}\ge \sqrt{12}-\sqrt{6}>1$ , ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.

Observaţie: În 1850, matematicianul rus P.L. Cebâşev a dat o demonstraţie acestei afirmaţii, transformând-o într-o teoremă.

Bibliografie: Colecţia G.M.

Citeşte şi:

Centrul unui grup (26-03-2011) Inducţia matematică - aplicaţii (15-03-2011) Introducere în inducţia matematică (15-03-2011) Grupul lui Klein (15-03-2011) Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real (15-03-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII