Introducere în inducţia matematică

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Tiberiu Puican

Marţi, 15 Martie 2011 10:42

Inducţia matematică reprezintă un procedeu ce poate fi folosit în cadrul rezolvării unor probleme de algebră. Prin aceasta se înţelege o metodă de raţionament care conduce de la propoziţii particulare la o oarecare propoziţie generală. Aşa cum este prezentată în majoritatea manualelor şcolare, se lasă o falsă impresie cum că aceasta ar fi folosită numai pentru demonstrarea unor formule date. Însă inducţia poate fi folosită pentru rezolvarea unor probleme cu rezultat mult mai complex, a căror soluţionare ar fi mult mai grea dacă nu am utiliza această metodă.

Principiul inducției matematice
credit: http://math.njit.edu

Principiul inducţiei matematice

Principiul pe care se bazează inducţia matematică este:

Fie P(n) o propoziţie care depinde de un număr natural $n \geq m$ , m fiind un număr natural fixat. Demonstraţia prin metoda inducţiei matematice a propoziţiei P(n) , constă din două etape:

1. Se verifică mai întâi că P(m) este adevărată.

2. Se presupune că P(k) este adevărată şi se demonstrează că P(k+1) este adevărată, k fiind un număr natural mai mare sau egal cu m (adică $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ , $k \geq m$ ).

Dacă ambele etape ale demonstraţiei sunt verificate, atunci propoziţia P(n) este adevărată pentru orice număr natural $n \geq m$ .

Intuitiv, această metodă de demonstraţie se justifică astfel:

Din P(m) adevărată şi $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ , pentru orice $k \geq m$ , rezultă că P(m+1) este adevărată (unde k=m ); apoi, luând k=m+1 se obţine că $ P(m+2) $ este adevărată, şi aşa mai departe. Raţionând "din aproape în aproape" deducem că propoziţia P(n) este adevărată pentru orice număr natural $n \geq m$ .

Metoda inducţiei matematice ne arată că dacă P(1) este adevărată (pentru m=1 ), şi din $P(k)Â \Rightarrow P(k+1)$ , pentru $k \geq 1$ , unde k este număr natural, avem că P(k) este adevărat pentru orice k număr natural.

Câteva aplicaţii rezolvate puteţi găsi în cadrul articolului: Inducţia matematică - Aplicaţii.

Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.

Citeşte şi:

Grupul lui Klein (15-03-2011) Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real (15-03-2011) Inegalităţile mediilor (15-03-2011) Definiţia, proprietăţile şi graficele logaritmilor (13-03-2011) Derivate ale funcţiilor uzuale (27-02-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII