Scientia

Scientia terras irradiamus

Definiţia, proprietăţile şi graficele logaritmilor Imprimare Email
Matematica
Scris de Laurenţiu Tuca   
Duminică, 13 Martie 2011 10:32

Definiţia logaritmului

Fie a\in (0,\infty)-\{1\} şi $b\in(0,\infty)$, două numere reale. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv $b$ exponentul la care trebuie ridicat numărul $a$, denumit bază, pentru a obţine numărul $b$.

Notaţiile logaritmilor

Logaritmul numărului $b$ în baza $a$ se notează: $\log_a  b$. Cu această notaţie şi cu definiţia de mai sus devine clar că $\displaystyle b=a^{\log_a b}$.

Funcţia logaritm şi graficul acesteia

Funcţia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa funcţiei exponenţiale. Vom considera funcţia bijectivă $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0,  \infty) , f(x) = a^x ,  a \epsilon (0, \infty) - \{1\}$, al cărei grafic îl puteţi vedea în figura de mai jos:

Graficul functiei exponentiale cu baza mai mare decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale. Observaţi că pentru o bază mai mare decât 1 are această figură. Observaţi că limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.


Graficul functiei exponentiale cu baza mai mica decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale a cărei baza este mai mică decât 1. Este vorba de o funcţie strict descrescătoare, spre deosebire de cealaltă, care era o funcţie strict crescătoare. De data aceasta, la minus infinit, funcţia tinde să fie infinită, pe când la infinit valoarea sa tinde către 0.


Prin comapratie - graficele functiilor 2 la x si 1/2 la x

 



Cum funcţia exponenţială este o funcţie bijectivă, ea este şi inversabilă, iar inversa sa este chiar funcţia logaritm: $  f^{-1}: (0, \infty)  \rightarrow \mathbb{R} , f^{-1}(x) = \log_a  x$. Cum ştim că graficul funcţiei inverse este simetric în raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaţie y=x) faţă de funcţia f, putem construi, aşadar, graficul funcţiei logaritmice:
Exponentiala si logaritm - grafice
credit: e-formule.ro


Cazuri particulare de logaritmi

Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali şi se notează $\log_{10} b$ sau $\lg  b$, iar cei în baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scoţian Neper, sau Napier, care i-a descoperit), şi se notează $\ln_a b$.

Proprietăţile logaritmilor

01. $\displaystyle \log_a x = \log_a y \Rightarrow  x=y$, dacă $\displaystyle x, y>0$ (injectivitatea funcţiei logaritm).

02. $ \displaystyle \log_a a=1$

03. $ \displaystyle \log_a 1=0$

04. $ \displaystyle \log_a x + \log_a y=\log_a (xy) $

05. $ \displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \left(\frac{x}{y}\right) $

06. Fie $c\in \mathbb{R}$ . Atunci $ \displaystyle \log_a x^c=c\cdot log_a x$

07. $ \displaystyle \log_a x\cdot \log_x a=1$

08. $ \displaystyle \log_a x=\frac{\log_y x}{\log_y a}$

09. $ \displaystyle a>1 , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x < 0 $

10. $ \displaystyle a>1 , x>1 \Rightarrow \log_a x > 0 $

11. $ \displaystyle a \in (0,1) , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x > 0 $

12. $ \displaystyle a \in (0,1) , x>1 \Rightarrow \log_a x < 0 $

13. Dacă $ \displaystyle a>1$ funcţia $ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow  \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict crescătoare, adică pentru $ \displaystyle x>y$, avem $ \displaystyle \log_a x>\log_a y$

14. Dacă $ \displaystyle a \in (0,1) $ funcţia $ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}}  \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict descrescătoare, adică pentru $ \displaystyle  x>y$, avem $ \displaystyle \log_a  x<\log_a y$

15. Fie $ \displaystyle c\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Atunci $ \displaystyle \log_{a^c} x=\frac{1}{c}  \log_a x$

16. Fie $ \displaystyle  x\in\mathbb{R}, a>0,  a\not=1$. Atunci $ \displaystyle a^x=e^{x  \ln a}$ \displaystyle .

Pentru fiecare dintre proprietăţile unde nu sunt puse condiţii pentru $ \displaystyle a, x, y $ , se subînţeleg condiţiile din definiţie.

 

 


Citeşte şi:


Scientia