Scientia

Scientia terras irradiamus

Forumul Scientia Scientia Q&A Enciclopedia The World Factbook în limba română Blogul Scientia Cătălina Curceanu Blogul lui Mădălin Filip Blog Gabriela Costache Blog Sergiu Vijiala Premiul Nobel Posterele Scientia Canalul YouTube Scientia Donează!

Newsletter

Definiţia, proprietăţile şi graficele logaritmilor Imprimare Email
Matematica
Scris de Laurenţiu Tuca   
Duminică, 13 Martie 2011 10:32

Definiţia logaritmului

Fie a\in (0,\infty)-\{1\} şi $b\in(0,\infty)$, două numere reale. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv $b$ exponentul la care trebuie ridicat numărul $a$, denumit bază, pentru a obţine numărul $b$.

Notaţiile logaritmilor

Logaritmul numărului $b$ în baza $a$ se notează: $\log_a  b$. Cu această notaţie şi cu definiţia de mai sus devine clar că $\displaystyle b=a^{\log_a b}$.

Funcţia logaritm şi graficul acesteia

Funcţia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa funcţiei exponenţiale. Vom considera funcţia bijectivă $ f: \mathbb{R} \rightarrow (0,  \infty) , f(x) = a^x ,  a \epsilon (0, \infty) - \{1\}$, al cărei grafic îl puteţi vedea în figura de mai jos:

Graficul functiei exponentiale cu baza mai mare decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale. Observaţi că pentru o bază mai mare decât 1 are această figură. Observaţi că limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.


Graficul functiei exponentiale cu baza mai mica decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale a cărei baza este mai mică decât 1. Este vorba de o funcţie strict descrescătoare, spre deosebire de cealaltă, care era o funcţie strict crescătoare. De data aceasta, la minus infinit, funcţia tinde să fie infinită, pe când la infinit valoarea sa tinde către 0.


Prin comapratie - graficele functiilor 2 la x si 1/2 la x

 



Cum funcţia exponenţială este o funcţie bijectivă, ea este şi inversabilă, iar inversa sa este chiar funcţia logaritm: $  f^{-1}: (0, \infty)  \rightarrow \mathbb{R} , f^{-1}(x) = \log_a  x$. Cum ştim că graficul funcţiei inverse este simetric în raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaţie y=x) faţă de funcţia f, putem construi, aşadar, graficul funcţiei logaritmice:
Exponentiala si logaritm - grafice
credit: e-formule.ro


Cazuri particulare de logaritmi

Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali şi se notează $\log_{10} b$ sau $\lg  b$, iar cei în baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scoţian Neper, sau Napier, care i-a descoperit), şi se notează $\ln_a b$.

Proprietăţile logaritmilor

01. $\displaystyle \log_a x = \log_a y \Rightarrow  x=y$, dacă $\displaystyle x, y>0$ (injectivitatea funcţiei logaritm).

02. $ \displaystyle \log_a a=1$

03. $ \displaystyle \log_a 1=0$

04. $ \displaystyle \log_a x + \log_a y=\log_a (xy) $

05. $ \displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \left(\frac{x}{y}\right) $

06. Fie $c\in \mathbb{R}$ . Atunci $ \displaystyle \log_a x^c=c\cdot log_a x$

07. $ \displaystyle \log_a x\cdot \log_x a=1$

08. $ \displaystyle \log_a x=\frac{\log_y x}{\log_y a}$

09. $ \displaystyle a>1 , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x < 0 $

10. $ \displaystyle a>1 , x>1 \Rightarrow \log_a x > 0 $

11. $ \displaystyle a \in (0,1) , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x > 0 $

12. $ \displaystyle a \in (0,1) , x>1 \Rightarrow \log_a x < 0 $

13. Dacă $ \displaystyle a>1$ funcţia $ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow  \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict crescătoare, adică pentru $ \displaystyle x>y$, avem $ \displaystyle \log_a x>\log_a y$

14. Dacă $ \displaystyle a \in (0,1) $ funcţia $ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}}  \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict descrescătoare, adică pentru $ \displaystyle  x>y$, avem $ \displaystyle \log_a  x<\log_a y$

15. Fie $ \displaystyle c\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Atunci $ \displaystyle \log_{a^c} x=\frac{1}{c}  \log_a x$

16. Fie $ \displaystyle  x\in\mathbb{R}, a>0,  a\not=1$. Atunci $ \displaystyle a^x=e^{x  \ln a}$ \displaystyle .

Pentru fiecare dintre proprietăţile unde nu sunt puse condiţii pentru $ \displaystyle a, x, y $ , se subînţeleg condiţiile din definiţie.

 

 


Citeşte şi:


Scientia