Definiţia, proprietăţile şi graficele logaritmilor

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Laurenţiu Tuca

Duminică, 13 Martie 2011 10:32

Definiţia logaritmului

Fie $a\in (0,\infty)-\{1\}$ şi $b\in(0,\infty)$ , două numere reale. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv $b$ exponentul la care trebuie ridicat numărul $a$ , denumit bază, pentru a obţine numărul $b$ .

Notaţiile logaritmilor

Logaritmul numărului $b$ în baza $a$ se notează: $\log_a b$ . Cu această notaţie şi cu definiţia de mai sus devine clar că $\displaystyle b=a^{\log_a b}$ .

Funcţia logaritm şi graficul acesteia

Funcţia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa funcţiei exponenţiale. Vom considera funcţia bijectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow (0, \infty) , f(x) = a^x ,Â a \epsilon (0, \infty) - \{1\}$ , al cărei grafic îl puteţi vedea în figura de mai jos:

Graficul functiei exponentiale cu baza mai mare decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale. Observaţi că pentru o bază mai mare decât 1 are această figură. Observaţi că limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.

Graficul functiei exponentiale cu baza mai mica decat 1

Acesta este graficul funcţiei exponenţiale a cărei baza este mai mică decât 1. Este vorba de o funcţie strict descrescătoare, spre deosebire de cealaltă, care era o funcţie strict crescătoare. De data aceasta, la minus infinit, funcţia tinde să fie infinită, pe când la infinit valoarea sa tinde către 0.

Prin comapratie - graficele functiilor 2 la x si 1/2 la x

Cum funcţia exponenţială este o funcţie bijectivă, ea este şi inversabilă, iar inversa sa este chiar funcţia logaritm: $f^{-1}: (0, \infty)Â \rightarrow \mathbb{R} , f^{-1}(x) = \log_a x$ . Cum ştim că graficul funcţiei inverse este simetric în raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaţie y=x) faţă de funcţia f, putem construi, aşadar, graficul funcţiei logaritmice:

credit: e-formule.ro

Cazuri particulare de logaritmi

Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali şi se notează $\log_{10} b$ sau $\lg b$ , iar cei în baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scoţian Neper, sau Napier, care i-a descoperit), şi se notează $\ln_a b$ .

Proprietăţile logaritmilor

01. $\displaystyle \log_a x = \log_a y \Rightarrow x=y$ , dacă $\displaystyle x, y>0$ (injectivitatea funcţiei logaritm).

02. $\displaystyle \log_a a=1$

03. $\displaystyle \log_a 1=0$

04. $\displaystyle \log_a x + \log_a y=\log_a (xy)$

05. $\displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \left(\frac{x}{y}\right)$

06. Fie $c\in \mathbb{R}$ . Atunci $\displaystyle \log_a x^c=c\cdot log_a x$

07. $\displaystyle \log_a x\cdot \log_x a=1$

08. $\displaystyle \log_a x=\frac{\log_y x}{\log_y a}$

09. $\displaystyle a>1 , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x < 0$

10. $\displaystyle a>1 , x>1 \Rightarrow \log_a xÂ > 0$

11. $\displaystyle a \in (0,1)Â , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a xÂ > 0$

12. $\displaystyle a \in (0,1)Â , x>1 \Rightarrow \log_a xÂ < 0$

13. Dacă $\displaystyle a>1$ funcţia $\displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict crescătoare, adică pentru $\displaystyle x>y$ , avem $\displaystyle \log_a x>\log_a y$

14. Dacă $\displaystyle a \in (0,1)$ funcţia $\displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x$ este strict descrescătoare, adică pentru $\displaystyle x>y$ , avem $\displaystyle \log_a x<\log_a y$

15. Fie $\displaystyle c\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Atunci $\displaystyle \log_{a^c} x=\frac{1}{c} \log_a x$

16. Fie $\displaystyleÂ x\in\mathbb{R}, a>0, a\not=1$ . Atunci $$ \displaystyle a^x=e^{x \ln a}$ \displaystyle$ .

Pentru fiecare dintre proprietăţile unde nu sunt puse condiţii pentru $\displaystyleÂ a, x, y$ , se subînţeleg condiţiile din definiţie.

Citeşte şi:

Derivate ale funcţiilor uzuale (27-02-2011) Derivate şi reguli de derivare (27-02-2011) Tabele de integrale nedefinite şi de primitive uzuale (26-02-2011) Graficele funcţiilor trigonometrice (13-03-2011) Funcţiile trigonometrice - o introducere (23-02-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII