Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
177 vizualizari
Să se găsească, într-un patrulater oarecare, punctul pe care, unindu-l cu mijloacele laturilor patrulaterului, să rezulte astfel 4 arii egale în interiorul patrulaterului mare.
a intrebat Novice (127 puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri

Avem la dispoziție patrulaterul ABCD, E, F, G și H sunt mijloacele laturilor acestuia și trebuie găsită poziția punctului P astfel încât AAEPH = AEBFP = AFCGP = AHPGD = AABCD / 4.
Mai întâi precizez niște lucruri poate cunoscute: patrulaterul EFGH este un paralelogram având laturile paralele două câte două ca urmare a calității lor de linii mijlocii. El este cunoscut drept paralelogramul Varignon și folosim două dintre proprietățile lui interesante și simplu de remarcat (folosind notațiile din figură):
(1)  AEFGH = AABCD / 2. Schițez o demonstrație: AEFGH = AABCD -  (AAEH+AEBF+AFCG+AGDH) = AABCD  - (AABD/4 + AABC/4 + ABCD/4+ACDA/4) = AABCD - (AABCD/4+AABCD/4)
(2)  AEPH+AFGP = AEFP+AGHP = AEFGH/2. Această egalitate este valabilă pentru orice paralelogram, nu doar cele de tip Varignon, și rezultă imediat dacă ducem o perpendiculară din P pe laturile EFGH. Folosind (1) => AEPH+AFGP = AABCD/4. 


AAEPH = AAEH+AEPH = AABD/4+AEPH. Observăm că dacă AEPH ar fi egală cu AFCG care este ABCD/4 atunci AAEPH = AABD/4+ABCD/4 = AABCD/4. Prin urmare o idee de rezolvare ar fi găsirea locului geometric al punctelor P pentru care AEPH = AFCG. Ambele triunghiuri au o bazele HE și FG egale cu BD/2. Mai trebuie ca și înălțimile corespunzătoare să fie egale. Ducem CCperpendiculară pe FG. Din punctul E construim segmentul EE= CC1 și perpendicular pe HE. Prin E1 trasăm dreapta d1 paralelă la HE. Orice punct P de pe această dreaptă are proprietatea că
AEPH = AFCG (baza • înălțimea egale). Deci AAEPH = AABCD/4. 
AAEPH+AFCGP = (AAEH+AEPH)+(AFCG+AFGP) = (AABD/4+AEPH) +(ABCD/4+AFGP) = AABCD/4+AEPH+AFGP. Apelând la (2) obțin că AAEPH +AFCGP = AABCD/2 rezultănd că și AFCGP = AABCD/4.
Similar pentru patrulaterul HPGD: căutăm punctele P pentru care AHPG=AEBF. Construim segmentul HH1 perpendicular pe HG și egal cu înălțimea BB1, prin H1 se duce dreapta d2 paralelă cu HG. Orice punct  P de pe d2 satisface AHPG = AEBF => AHPGD = AABCD/4.
Intersecția dintre d1 și d2 reprezintă punctul P căutat.

a raspuns Experimentat (4.7k puncte)
editat de

...