Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
314 vizualizari

Se notează cu A, B, C unghiurile și cu a, b, c laturile unui triunghi. Să se demonstreze inegalitatea:

\small 60^{\circ }\leq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\leq 90^{\circ }

a intrebat Experimentat (4.6k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Partea stângă a inegalității se poate demonstra utilizând inegalitatea Cebâșev (cea pentru două șiruri monoton crescătoare), iar partea dreaptă, pe baza inegalităților triunghiului.

În continuare, vom privi membrul din mijloc (pe care îl notăm cu M) ca fiind suma de produse: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C și considerăm, fără a restrânge generalitatea, că lungimile laturilor sunt în ordinea a\leq b\leq c. Atunci avem, pe de o parte A\leq B\leq C (1) (unei laturi mai mari i se opune un unghi mai mare) și, pe de altă parte,  \frac{a}{a+b+c}\leq \frac{b}{a+b+c}\leq \frac{c}{a+b+c} (2)

Demonstrație partea stângă: 

Inegalitatea lui Cebâșev, aplicată mărimilor din (1) și (2), se va scrie: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C\ \geq \frac{1}{3}(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c})(A+B+C)\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{3}(A+B+C)\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{3}\cdot 180^{0}\Leftrightarrow M\geq 60^{0}.

Demonstrație partea dreaptă: 

Cum a\leq b+c (inegalitatea triunghiului), rezultă 2a\leq a+b+c\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}A\leq \frac{1}{2}A (*). Analog, \frac{b}{a+b+c}B\leq \frac{1}{2}B (**)    și     \frac{c}{a+b+c}C\leq \frac{1}{2}C (***). Adunând membru cu membru relațiile (*), (**) și (***), obținem: \frac{a}{a+b+c}A+\frac{b}{a+b+c}B+\frac{c}{a+b+c}C\leq \frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C, care înseamnă M\leq 90^{0}.

a raspuns Junior (933 puncte)
selectat de
0 0
Dacă era după mine,  în inegalitatea din dreapta trebuia "strict mai mic",  dar nu te pui cu rușii. O rezolvare exemplară prin claritate.

...